§5.7 Приложения определенного интеграла Вычисление площади в декартовых координатах.

Если на сегменте [a,b], функция y=f(x) непрерывна и положительна, то криволинейная трапеция с основанием [a,b], ограничена сверху графиком этой функции, имеет площадь S, которую можно найти по формуле

(27)

или

(28)

Пример: вычислить площадь сегмента параболы, т.е. фигуры, ограниченной дугой параболы x=y² и отрезком АВ прямой х=а (рис. 5.5).

Решение: исходя из сегмента параболы относительно оси Ох, найдем его площадь S, как удвоенную площадь криволинейной трапеции ОАа:

у

А

0 а х

В

Объем тела вращения.

Рассмотрим криволинейную трапецию с основанием [a,b], ограниченную непрерывной кривой y=f(x). Определим объем тела образованного вращением трапеции вокруг оси Ох (рис. 5.6). Поперечными сечениями будут круги с радиусами, равными модулю ординаты у вращающейся кривой. Следовательно, площадь сечения

Найдем объем тела вращения

(29)

или

(30)

Пример: определить объем тела, ограниченного поверхностью вращения параболы y²=x вокруг оси Ох и плоскостью х=h (рис.5.7).

Решение: применяя формулу (30), найдем:

y

y

V=f(x)

hhh h

h

0 x

Рис. 5.6

Длина дуги кривой.

Пусть y=f(x) – непрерывная и дифференцируемая функция на промежутке [a,b]. Рассмотрим задачу вычисления длины l графика f(x) от точки с абсциссой а до точки с абсциссой b. Обозначим через l(x) длину кривой от точки с абсциссой а до точки с абсциссой х. (рис.5.8). Пусть абсцисса х получила бесконечно малое приращение dx. Тогда у получит бесконечно малое приращение , которое отличается от приращения dy вдоль касательной на бесконечно малую, стремящуюся к нулю существенно быстрее, чем dx.

y

0 a x x+dx b x

Рис. 5.8

Приращение длины кривой отличается от длины соответствующего отрезка касательной (рис.5.9)

на бесконечно малую, существенно меньшую, чем dx. Последняя часть относительно dx и является главной частью . Следовательно,

и (31)

y y

dy

0 dx x 0 r x

рис.5.9 рис.5.10

Пример: найти с помощью интегрирования длину четверти окружности радиуса r (рис. 5.10).

Решение: здесь

что и следовало ожидать.

Заметим, что вычисление длины эллипса сводится к вычислению «неберущегося» интеграла, не выражающегося через элементарные функции. То же относится к вычислению длины дуги гиперболы y=1/x, длины дуги синусоиды. Длина дуги параболы приводится к интегралу, хотя и выражаю­щемуся через элементарные функции, но довольно сложному.