§ 5.6 Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от непре­рывной функции f(x). Если может быть найдена первообразная F(x) по­дынтегральной функции, то по формуле Ньютона-Лейбница.

Если же первообразная не может быть найдена или если функция y=f(x) задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сдела­на сколь угодно большой.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большин­стве случаев основаны на том, что определенный интеграл числен­но равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), сегментом [a,b] оси Ох и вертикальными прямыми, проведенными через точки х = а и х =b . Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криво­линейной трапеции.

Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что кри­вая у = f(x) заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой.

Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой.

В качестве этой новой ограничивающей кривой выбирают такую, для ко­торой площадь новой криволинейной трапеции подсчитывается просто. В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную приближен­ную формулу интегрирования.

Метод средних прямоугольников.

В качестве приближения к интегралу берется интегральная сумма, в ко­торой значения подынтегральной функции берутся в серединах промежутков, на которые разделен промежуток интегрирования. Предполагается, что все

эти промежутки имеют одинаковую длину - шаг разбиения где а и b – пределы интегрирования, n- число частей (рис. 5.1). Таким образом, интегральная сумма имеет вил:

или

(21)

где

Метод трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл разобьем сегмент интегрирования [a,b] на n равных малых сегментов точками деления: Кроме того положим Длина h каждого малого сегмента равна . Через точки деления проведем прямые, параллельные оси Оу. Пусть они пересекают кривую в точках Заменим данную кривую y=f(x) впсианной в нее ломаной (рис. 5.2), соединив концы смежных ординат прямыми линями. Для наглядности будем предполагать, что на сегменте [a,b] функция Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху построенной ломанной, даст нам приближенной значение интеграла

Эта площадь равна сумме площадей прямолинейных трапеций, ограни­ченных сверху звеньями ломанной. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать. В самом деле, основаниями ее будут ординаты смежных точек деления х_i-1 и x_i а высотой - малый сегмент [x_i-1,x_i ], длина которого Поэтому площадь такой криволинейной трапеции равна где а

Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху ломанной

После очевидных преобразований получим

, где

Таким образом, имеем приближенную формулу

(22)

Эта формула называется формулой трапеций.

Формула трапеций,выведенная в предположении, что , остается справедливой для любой функции f(x), непрерывной на сегменте [a,b].

С возрастанием числа n точек деления точность, даваемая формулой трапеций, возрастает.

y

А₂

А₁ A_n-1

А_i+1 А_i

A_n

A₀

y₀ y₁ y₂ y_i-1 y_i y_n-1 y_n

0 a x₁ x₂ x_i-1 x_i x_n-1 b x

Рис. 5.2

Пример: вычислить интеграл с помощью формулы трапеций, полагая n=8 и n=16.

Решение: составим таблицу значений подынтегральной функции при n=8 и n=16 и

По формуле (22) при n=8 получим:

Составив таблицу значений подынтегральной функции n=16 и

,получим