§ 4.4 Непосредственное интегрирование.

Из определения неопределенного интеграла следует

(6)

Пользуясь этой формулой можно найти интегралы простейших функций и составить таблицу основных формул интегрирования.

Предположим

Подставив в формулу (6) вместо его значение, найдем

а так как

то

Эта формула справедлива при любом постоянном n, не равном -1.

Таким же путем были получены основные формулы интегрирования, приведенные ниже.

ТАБЛИЦЫ ИНТЕГРАЛОВ.

1)

2) при

3)

4)

5)

6)

7) ,

8)

9)

10)

11)

12)

13)

В справедливости данных формул можно убедиться дифференцирова­нием: производная правой части каждой из них должна равняться подынте­гральной функции левой части.

Нахождение интегралов, основанное на применении приведенных фор­мул, называется способом непосредственного интегрирования.

Чтобы из множества первообразных функций выделить определенную функцию, необходимо иметь дополнительное условие, дающее возможность определить значение произвольной постоянной С.

Пример: найти функцию, производная которой 4х³ - 2х + 3, зная, что

при х: = 1 эта функция принимает значение, равное 4.

Решение: обозначив искомую функцию через у получим

или

Отсюда

или

Итак,

-общее решение (7)

Нам предложено найти ту из первообразных функций, которая при х = 1 принимает значение, равное 4. Эти данные (х = 1, у = 4) принято называть начальными значениями аргумента х и функции у или началь­ными условиями задачи.

Подставив в уравнение (7) вместо х и у их данные значения, нахо­дим:

Заменяя в равенстве (7) произвольную постоянную С ее значением, получаем искомую функцию:

- частное решение.

§ 4.5 Основные методы интегрирования.

Укажем теперь несколько приемов, которые во многих случаях по­зволяют сводить заданные интегралы к табличным. Такими примерами явля­ются: интегрирование методом разложения, интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям.

Интегрирование методом разложения с использованием элементарных математических операций.

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью прямого интегрирования.

Приведем простейшие примеры.

Пример 1: найти

Решение: так как то

Проверка:

Пример 2: найти

Решение: имеем

Удачно разложив подынтегральное выражение, мы свели интеграл к табличным интегралам.

Интегрирование методом замены переменной.

Во многих случаях удается введением вместо переменной интегрирова­ния х новой переменной z свести данный интеграл к новому интегралу, который содержится в таблице основных интегралов. Этот метод интегрирования получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.

Введем вместо х новую переменную z связанную с х соотношени­ем , где - непрерывная монотонная функция имеющая не­прерывную производную . Покажем, что имеет место равенство

(8)

Формула (8) называется формулой замены переменной. Для доказательст­ва справедливости формулы (8), очевидно, достаточно убедиться, что диф­ференциалы обеих частей равны.

Дифференцируя левую часть соотношения (8), имеем

Но так как , то Поэтому

(9)

С другой стороны, дифференцируя правую часть соотношения (8), имеем

(10)

Соотношения (9) и (10) показывают, что

Тем самым справедливость формулы (8) доказана.

Пример 1: найти

Решение: положим , находим Применяя формулу (8), получаем

но Поэтому

Возвращаясь снова к переменной х получим

Пример 2: найти

Решение: полагая и применяя формулу (7), имеем