§ 4.2 Геометрический смысл неопределенного интеграла.

Из дифференциального исчисления известно, что наклон k кривой у = f(x) (угловой коэффициент касательной) в точке с абсциссой х равен производной, т.е.

Пусть теперь нам предлагается обратная задача: зная наклон кривой в любой ее точке как функцию абсциссы этой точки, т.е. зная, что k = f(x) , найти уравнение кривой.

Так как то , откуда интегрирование найдем

.

Вычислив этот неопределенный интеграл получим уравнение

(5)

содержащее произвольную постоянную С. Очевидно, уравнению (5) на плос­кости будет соответствовать бесконечное множество кривых (семейство кри­вых), уравнения которых будут отличаться друг от друга только постоянными слагаемыми.

Пусть нам дано Тогда

Следовательно,

Придавая произвольной постоянной С последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,…, получим:

Производные этих функций равны: у'_х =2х, вследствие чего проме­жутки убывания (-∞ < х < 0) и возрастания (0 < х < ∞) будут одинаковы. Функции имеют минимум при х = 0, наклон их графиков в точках с одной и той же абсциссой (рис 4.1) относительно оси Ох один и тот же, так как

Рис. 4.1

Построив график одной функции (например, ), графики осталь­ных можно получить перемещением его параллельно оси Ох (рис. 4.1). Оче­видно, что неопределенному интегралу от функции f(x) = 2x на плоскости соответствует семейство одинаковых парабол, симметричных относительно оси Оу и отличающихся друг от друга лишь смещением вдоль оси Оу.

Таким образом, геометрически неопределенный интеграл представляет­ся семейством интегральных кривых.

Пример 1: Найти

Решение: предлагается найти такую функцию, производная которой равна 5х⁴. Из дифференциального исчисления известно, что 5х⁴ =(x⁵)'_x следовательно,

Пример 2: найти

Решение: в данном случае ищется функция, производная которой равна Из дифференциального исчисления известно, что

, следовательно,

§ 4.3 Основные свойства неопределенного интеграла.

1)Производная неопределенного интеграла равно подынтегральной функции, т.е. . Это свойство непосредственно вытекает из опре­деления неопределенного интеграла и доказательства не требует. Так, если f(x) = 5x⁴, то

т.е.

2)Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Это свойство вытекает из определения неопределенного интеграла. Для пояснения рассмотрим следующий пример:

Пусть , получим

или

3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная , т.е.

Например,

4) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е. если - величина постоянная, то

так как

и .

5) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. сумме левой и правой частей.

Справедливость этой формулы легко обнаружить, сравнив производные левой и правой частей. По первому свойству неопределенного интеграла, имеем

Применив к правой части правило дифференцирования алгебраической суммы функций, получаем

Следовательно,