§ 3.4 Приложения дифференциала функции к приближенным вычислениям.

Выше дифференциал функции был определен как главная часть приращения функции.

Докажем, что при и приращение у функции у = f(x) и ее дифференциал dy - эквивалентные бесконечно малые вели­чины. Нам известно, что

;

(9)

где - бесконечно малая при , т.е.

Найдем предел отношения при :

Получаем

(10)

Это значит что и dy – эквивалентные бесконечно малые величины.

Вследствие этого при значениях , близких к нулю, можно принять

Вычисление приращения функции обычно приводит к громоздким вы­числениям. Формула (10) при значениях х, близких к нулю, дает возмож­ность находить приближенное значение приращения у функции у = f(x) с незначительным отклонением от его истинного значения, при этом вычислительная работа значительно упрощается.

Пример 1: вычислить приращение функции у = 2х²-Зх + 3 при переходе аргумента от значения х₁=1 к значению х₂=1,001: 1) приближенно; 2)точно; 3)найти разность между его точным и приближенным значением.

Решение: в данном случае принимаем х=1, dx= ; найдем приближенное значение

Заменив x и dx их значениями, получим

. (11)

Для точного значения приращения функции получим:

(12)

Сравнивая (11) и (12), видим, что точное значение отличается от приближенного значения лишь в шестом и десятичном знаке:

0,001002-0,001=0,000002

Пример 2: найти приближенно приращение функции при переходе аргумента от значения х₁=5 к значению х₂=5,1.

Решение: принимаем :

Подставив в полученный результат вместо х и dx их значения, находим

Пример 3: найти приращение и дифференциал dy функции при . Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

Решение: имеем

Дифференциал функции найдем по формуле:

Абсолютная погрешность

Относительная погрешность

§ 3.5 Функции многих переменных. Предел функции.

В практике встречаются функции, зависящие от двух, трех или большего числа переменных. Например, объем прямоугольного параллелепипеда V зависит от трех величин - длины а и ширины b его основания и высоты h :

V=abh.

Переменная и называется функцией трех переменных x,y,z, если:

-задано множество троек численных значений x, у, z;

-задан закон, по которому каждой тройке чисел (х, у, z) из этого множества соответствует единственное значение u .

Переменные х, у, z называются при этом аргументами функции, или неза­висимыми переменными.

Множество , которое образуют все тройки (х, у, z) численных значе­ний аргументов, называется областью определения или областью задания функции трех переменных.

Обозначаются функции трех переменных так же, как и функции одной или двух переменных:

u = f(x,y,z);

w = w(x,y,z)

Функцию трех переменных и = f(x, у, z) можно рассматривать как функцию точки Р(х, у, z), имеющей координаты x,y,z в пространствен­ной системе координат Oxyz.

Пользуясь геометрической терминологией, аналогичной той, которую мы приняли для функции двух переменных, скажем, что область определения функции и = f(x, у, z) есть некоторое множество точек в пространстве.

Способы задания функций трех переменных и = f(x, у, z) могут быть самыми различными, но важнейшим в нашем курсе будет аналитический способ задания, когда функция задается с помощью аналитического выраже­ния (формулы). При этом часто область определения функции не указывает­ся. В последнем случае областью определения (областью задания) функции принято считать множество всех тех точек Р(х, у, z) пространства, для ко­торых это выражение имеет смысл и дает действительное значение функции и.

При рассмотрении предела функции одной переменой у = f(x) введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки х₀ понимается интер­вал АВ, содержащий эту точку. При введении понятия предела для функции

двух переменных z = f(x₀, у₀) = f(P) мы будем рассматривать окрестность точки в плоскости Оху.

Окрестностью точки Р₀(х₀,у₀) называется внутренность круга с центром в этой точке. Если радиус этого круга равен , то говорят -окрестность точки (рис. 3.2). Очевидно, что любая точка Р(х,у), принадлежащая -окрестности точки Р_о (х₀, y_Q ), находиться от этой точки на расстоянии, меньшем .

у

-окрестность точки P₀

0 х

Рис.3.2

Определение: число b называется пределом функции двух переменных z=f(x,y)=f(P) при P , если для любого числа найдется такая - окрестность точки P₀(x₀,y₀), что для любой точки P(x,y) этой окрестности (за исключением, быть может, точки P₀) имеет место неравенство , или .

При этом пишут или , так как при очевидно, .

Функция двух переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Заметим, что если число b есть предел функции z = f(P), то, как это следует из определения предела, разность f(P) — b является бесконечно малой, когда точка Р произвольным образом неограниченно приближается к точке P₀ .

Пример: найти

Решение: предел функции находится при Р(х, у) Р_о (0,0) , т.е. при , где = РР₀ - расстояние между точками Р и Р_о. В данном случае точка P₀ есть начало координат. Следовательно,

Таким образом,

Следует обратить внимание, на то, что в разобранном примере функция не определена в точке P₀(0,0), но имеет предел при .