Упражнения.

Найти производные указанных функций.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

10. 13.

11. 14.

12. 15.

Найти производные второго порядка от указанных функций.

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Определить наибольшее и наименьшее значения следующих функций и построить их графики.

1. на отрезке [0,2]

2. на отрезке [-3,3]

3. на отрезке [- ]

4. на отрезке [l,e]

5. в интервале (- ∞, +∞)

6. на отрезке [0,3]

Занятие №3. Дифференциал функции.

§3.1 Дифференциал функции как главная часть приращения функции.

Пусть нам дана некоторая функция у = f(x). Производная у'_х = f'(x) этой функции при данном значении x: есть предел отношения при , т.е.

.

Нам известно, что разность между переменной величиной (в данном случае такой переменной величиной является ) и ее пределом – величина бесконечно малая. Следовательно,

или

где - бесконечно малая величина при .

Из последнего равенства находим, , или

(1)

Это равенство показывает, что приращение функции составляется из двух слагаемых: и . Первое из этих слагаемых при любом х ,при котором , - бесконечно малая величина одинакового порядка с , так как

Второе слагаемое - бесконечно малая величина высшего порядка малости, чем х , потому что

Это означает, что в равенстве (1) при второе слагаемое стремиться к нулю "гораздо быстрее", чем первое. Поэтому первое слагаемое принято называть главной частью приращения функции.

Главная часть приращения функции у = f(x) иначе называется дифференциалом этой функции и обозначается символом dy (читается "дэ игрек"):

Следовательно, дифференциал функции равен произведению производ­ной этой функции на приращение аргумента.

Если в формуле принять у = х, получим

dy = x'_xdx = x'_x • х, или

dx = (3)

Это равенство показывает, что дифференциал dx аргумента есть его приращение .

Заменив в формуле (2) равным ему dx, получаем

dy = y'_xdx, или

dy = f'(x)dx (4)

Эта формула читается так: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента.

Следует знать и помнить, что дифференциал аргумента, как и его при­ращение, не зависит от х.

Разделив обе части равенства (4) на dx, получаем

, или

(5)

Из формулы (4) видно, что производная (у'_х ) функции у = f(x) есть

отношение дифференциала dy этой функции к дифференциалу dx аргумен­та х. Это отношение читается так: «дэ игрек по дэ икс».

Пользуясь формулой (4) и основными формулами для нахождения произ­водной, можно легко вывести формулу для нахождения дифференциала лю­бой функции.

Пусть нам дано у = u , где и= f(x),

dy = ,

а так как , то

(6)

Рассмотрим еще функцию где

Получим

или

(7)

Пример 1: найти дифференциал функции

Решение: по формуле (4) находим

Пример 2: найти дифференциал функции

Решение: