§ 2.6 Построений графиков функций

Способ построения графиков по точкам имеет ряд существенных не­достатков, из которых укажем следующие:

1)чтобы получить график, по которому можно судить о ходе изменения функции в промежутке ее существования, надо вычислить координаты большого числа точек;

2)невозможно точно выявить характерные особенности графика функции: точки экстремума, точки перегиба и направление выпуклости в любом малом промежутке.

Изучив ход изменения функции с помощью первой и второй производных, мы имеем возможность строить графики функций более совершен­ным способом и значительно точнее, пользуясь результатами исследования на максимум и минимум и находя точки перегиба. Теперь подведем итоги и укажем план, которого следует придерживаться при построении графика дан­ной функции у = f(x) .

1)Определить промежуток существования функции.

2)Найти те значения аргумента, при которых данная функция имеет экстремум, и, вычислив соответствующие значения функции, построить эти точки и небольшие части графика вблизи этих точек.

3)Найти координаты точек перегиба, если они имеются, и построить их.

4)Определить, если это возможно, и построить точки пересечения гра­фика с осями координат.

5)Если функция существует в любом промежутке (—∞,+∞), найти и .

6)Все отмеченные элементы графика соединить плавной кривой и про­должить ее, учитывая ход изменения у при х ∞ и х ∞.

Для большей точности полезно в «сомнительных местах» построить отдельные точки, вычислив их координаты, пользуясь уравнением кривой.

Пример: построить график функции у =

Решение:

эта функция существует в любом промежутке;

исследуем ее на максимум и минимум: 1-й этап у'_х = х² -2х-3

2-й этап х² -2х-3 = 0

х₁=-1

х₂=3

3-й этап

4-й этап

Следовательно, при х=-1 данная функция имеет максимум. А при х=3-минимум (табл. №1)

y_max=

y_min=

Таблица №1

х			Заключение	f(x)
-1	0	-	Максимум
3	0	+	Минимум

Строим точки (-1,1 ) и (3,-9) и небольшие части графика вблизи этих точек, учитывая, что точка максимума находится на участке выпуклости, а точка минимума - на участке вогнутости (рис. 2.3 а).

3) находим точку перегиба, решив уравнение у"(х) = 0 . Получаем:

2х-2=0

х=1

у_т.пер.=

На рисунке эта точка А(1,-3 отмечена маленьким кружком.

y у

а ) б)

(-1;1 ) (-1,1 )

х А х

(3;-9) (3,-9)

Рис.2.3

4) находим точки пересечения графика с осью абсцисс, решив совместно уравнения:

х=0

Получаем:

(на рисунке эти точки отмечены крестиками).

5) находим пределы:

6) Все отмеченные элементы графика соединяем плавной кривой и продолжаем ее влево от точки и вправо от точки , учитывая, что

(см. рис. 2.3 б).