§ 1.3. Понятие о пределе функции. Некоторые приемы нахождения пределов функций.

1. Очевидно, вопрос о пределе функции у может иметь смысл лишь в том случае, если указывается предел, к которому стремится аргумент х. Зададимся целью уяснить себе смысл утверждения, что пределом функции у при х а (а – какое – либо число) является число b.

Возьмем какую – нибудь последовательность значений аргумента х:

х₁; х₂; х₃; х₄;…; х_n;… (4)

стремящуюся к числу а, т.е. когда . Таких последовательностей можно выбрать сколько угодно. Всякой последовательности (4) будет соответствовать последовательность значений самой функции y:

y₁; y₂; у₃; у₄;…; у_n;… (5)

Если любая такая последовательность (5) имеет предел и этот предел равен числу b, то число b называется пределом функции у при х и это записывается так: . Поясним на примере.

Пусть нам дана функция . Проследим ход изменения этой функции при . Положим, что аргумент х принимает последовательность значений:

х= 1,1; 1,01; 1,001;…

стремящуюся к 1. Тогда функция последовательно будет принимать значения

| =3,21; 3,0201; 3,002001;… 1, (6)

Отсюда следует

Возьмем далее последовательность значений х, стремящуюся к 1, возрастая (х<1).

x=0,9; 0,99; 0,999;… .

Тогда данная функция последовательно будет принимать следующие значения:

| = 2,81; 2,9801; 2,9979;… . (7)

Очевидно, что

Следовательно, при х>1 и х<1

Последовательности (7) и (6) имеют один и тот же предел, значит функция при х имеет предел, равный числу 3.

Таким образом, функция у при х имеет своим пределом число b, если для любой последовательности значений аргумента х, стремящийся к числу а, соответствующие последовательности значений функции у имеет один и тот же предел равный b.

Рассмотрим нахождение предела функций в тех случаях, когда непосредственное применение теорем о пределах не приводит к определенным результатам.

Пример 1. Найти предел функции и при х ∞.

Решение. При х ∞ три слагаемых этой алгебраической суммы (х , -20х², -17х) пределов не имеет. Следовательно, в данном случае теорему о пределе алгебраической суммы непосредственно применить нельзя.

Образуем данное выражение, вынося х³ за скобки:

по теореме о пределе произведения находим

Приняв во внимание, что члены ; - ; при х ∞ будут бесконечно малыми величинами, получаем

Пример 2. Найти предел функции , когда х ∞.

Решение. Если непосредственно применить теорему о пределе частного, то получится

.

Запись никакого числа не выражает. Следовательно, в случае, когда делимое и делить являются бесконечно большими величинами, непосредственное применение теоремы о пределе частного определенного результата не дает. В таких случаях нахождение предела частного ведется в следующем порядке: делимое и делитель делят на наивысшую степень аргумента в знаменателе (в данном случае на х²).:

.

В результате преобразования под знаком предела получается дробь, числитель и знаменатель которой при х ∞ - величины ограниченные. Процесс нахождения предела записывается так:

Результат можно подтвердить способом, рассмотренным в п.1 данного параграфа. Деля числитель на знаменатель, получаем

.

Пусть аргумент х принимает такую последовательность значений: 10, 100, 1000, ... ; тогда функция (у) последовательно будет принимать зна­чения

2 , 2 , 2 ,…,

неограниченно приближающегося к числу 2.

Пример 3. Найти .

Решение. Если непосредственно применить теорему о пределе частного, то получается

= .

Запись никакому определенному числу не соответствует.

1. Разлагаем на множители числитель дроби, стоящей под знаком предела:

.

2. Сокращаем полученную дробь на х-3, что х-3 0, или х и только х . Получаем

= .

3. Находим предел, пользуясь первой теоремой о пределах: