§ 1.2. Предел переменной величины.
Понятие предела связано с особым видом изменения переменной величины, служащий основой высшей математики и имеющий первостепенное значение во многих областях науки и техники. Познакомимся с ним на примере.
Рассмотрим изменение
переменной величины х
=
.
Придадим этой формуле другой вид, разделив члены числителя на знаменатель. Получим:
х=a
+
. (1)
По условию вопроса, t последовательно может принимать значения:
t= 10; 100; 1000; 10 000; 100 000;…; 10n;… ∞,
при этом соответствующие значения х будут:
;
;
;
;…;
;…
.
Замечаем, что чем больше t , тем ближе значения переменной величины х подходят к постоянной величине a. Из равенства (1) имеем
.
При t
∞
правая часть этого равенства является
величиной бесконечно малой. Это значит,
что переменная величина х
неограниченно приближается к постоянной
величине а,
т.е.
=a
Анализ показывает:
Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если разность между ними является величиной бесконечно малой, т.е.
lim
x=a,
если х-а=
, (2)
где
- бесконечно малая величина. Разность
между бесконечно малой величиной и
нулем, очевидно, равна самой бесконечно
малой величине:
.
Следовательно, пределом
бесконечно малой величины является
нуль. Из
равенства (2) следует
, (3)
т.е. переменная величина х, имеющая своим пределом постоянную величину а, равняется своему пределу а плюс бесконечно малая величина.
Примечание 1. Всякая переменная величина, имеющая предел, является ограниченной переменной.
Примечание 2. Бесконечно большая величина х предела не имеет, тем не менее, вместо записи х ∞ в дальнейшем часто будем писать lim x = ∞, помня при этом , что символ ∞ никакого числа не выражает.
Примечание 3. пределом постоянной величины а является сама эта постоянная величина lim a =a.
Покажем, что при
х
∞
предел переменной величины
равен 2.
Решение. Находим разность между переменной величиной у и числом 2:
получаем
.
При х
∞
знаменатель дроби в правой части
последнего равенства – величина
бесконечно большая, вследствие чего
дробь
будет величиной бесконечно малой.
Разность между переменной величиной у
и постоянной величиной 2- величина
бесконечно малая. Следовательно, число
2 является пределом у при х
∞,
т.е.
.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 1.Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен алгебраической сумме пределов слагаемых
lim(x-y+z)=lim x- lim y +lim z.
Теорема 2. Предел произведения конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.
lim xyz = lim(xy)ּlim z = lim x ּ lim y ּlim z.
Теорема 3. Предел частного двух переменных величин, имеющих пределы, равен частному пределов делимого и делителя, если предел делителя не равен нулю.
lim
,
или lim
при условии lim
y
=b
0
Теорема 4. Предел корня целой положительной степени из переменной величины, имеющий предел, равен корню той же степени из предела этой переменной.
.
Первый замечательный предел:
.
Второй замечательный предел:
