Высшая математика. Занятие № 1. Теория пределов.

§ 1.1 Бесконечно малая и бесконечно большая величины.

Дифференциальное исчисление является одним из основных разделов обширной области высшей математики, называемой анализом бесконечно малых величин. Главная заслуга в открытии дифференциального исчисления принадлежит английскому математику, физику и астроному Исааку Ньютону (1643 – 1727) и немецкому философу и математику Готфриду Лейбницу ( 1646 -1716).

Ньютон сделал свое открытие, работая в области механики. Основной задачей. приведшей его к этому открытию, была задача о нахождении закона изменения скорости любого движения по данному закону (уравнению) этого движения.

Лейбниц подошел к открытию дифференциального исчисления в поисках общего метода построения касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.

Знание основ дифференциального исчисления – одного из самых существенных разделов высшей математики – для техники и науки просто необходимо.

Теория пределов является вводной частью дифференциального исчисления.

Известно, что переменной называется такая величина, которая в рассматриваемом процессе принимает различные значения.

Математический анализ изучает переменные величины. Переменные величины можно разделить на две группы: одни изменяются произвольно – их называют независимыми переменными или аргументами, а изменение вторых зависит от изменения первых – их называют зависимыми переменными, или функциями. Например, радиус R окружности и ее длина - это переменные величины, они могут принимать различные значения. Однако, выбрав R произвольным образом, для получаем уже вполне конкретное значение, = 2 , то есть R меняется независимо – это независимая переменная (аргумент), а изменяется в зависимости от R –это зависимая переменная; при этом говорят, что есть функция от R.

В науке, именующейся анализом бесконечно малых величин, исключительно важное значение имеют переменные величины, изменяющиеся так, что по абсолютной величине они становятся и в дальнейшем остаются меньше любого наперед заданного положительного числа, как бы мало это число ни было. Переменные величины, обладающие таким свойством, принято называть бесконечно малыми. Познакомимся с характером изменения этих переменных величин на примерах.

Возьмем переменную ординату точки M (x,y) (Рис.1.1), перемещающейся по равносторонней гиперболе y= 1/x вправо от оси 0у.

Положим, что абсцисса ее последовательно принимает значения

х =1;2;3;4;5;…;n;…; тогда ордината последовательно будут принимать значения

y = ; ; ; ; ;…; ;…

y

M (x,y)

0 x

M₁ (x,y)

Рис.1.1

По мере увеличения х ( удаления точки от оси Оу вправо) ордината у убывает, приближаясь к нулю. При х, неограниченно возрастающем, ордината у, убывая, становится и в дальнейшем остаётся меньше любого наперед заданного положительного числа, как бы мало оно ни было. Положим, таким числом является * = 0,0001. Уже при х = 1001 получим [y]= 1/1001 < . При значениях х> 1001, значения у, очевидно, будут убывать, оставаясь меньше заданного числа . Допустим, теперь, что точка M₁ (х,у), перемещаясь по этой гиперболе, удаляется от оси Оу влево. Тогда переменная ордината у последовательно будет принимать значения

Y= - ; - ; - ; …; - ;…; - ;…

При неограниченном удалении точки М₁(х,у) от оси Оу влево абсолютная величина у делается меньше и в дальнейшем остается меньше любого наперед заданного числа . как бы ни было мало это число. Следовательно, ордината у точки М является величиной бесконечно малой при неограниченном увеличении абсолютного значения х.

Допустим, что точка М перемещается по оси Ох вправо от начала координат. При этом абсцисса х будет возрастать и притом так, что неизбежно наступит момент, когда она станет и в дальнейшем будет оставаться больше любого наперед заданного положительного числа N, как бы велико оно ни было. В этом случае говорят, что переменная величина х является положительной бесконечно большой величиной и стремится к + ∞.

Пусть теперь точка М перемещается по той же оси влево от начала координат. При этом абсцисса этой точки х будет принимать отрицательные значения, возрастающие по абсолютной величине. Как бы велико ни было произвольное и наперед нами взятое положительное число N , наступит момент, когда абсолютная величина переменной абсциссы |x| станет и в дальнейшем будет оставаться больше числа N. В этом случае говорят, что переменная величина х является отрицательной бесконечно большой величиной и стремиться к -∞.

В обоих этих случаях переменная величина х изменяется так, что абсолютная величина ее становится и в дальнейшем остается больше любого наперед заданного положительного числа, как бы велико это число ни было. Такие переменные величины принято называть бесконечно большими. Таким образом, переменная величина х называется бесконечно большой, если она в процессе своего изменения по абсолютной величине становится и в дальнейшем остается больше любого наперед заданного положительного числа, как бы велико это число ни было.

Следует знать, что термином «бесконечно большая величина» определяется характер изменения переменной величины и что бесконечность не есть число. Всякое число, каким бы большим оно ни было, конечно.

Положим, что точка М (х,у) перемещается по ветви равносторонней гиперболы ху =1 (см. Рис. 1.1), расположенной в первой четверти, неограниченно приближаясь к оси Оу. Рассмотрим, как при таком перемещении точки М изменяется ее переменная ордината у. При таком перемещении точки М, очевидно, х 0. При х = 0,5; 0,1; 0,02; 0,004;… получим ряд последовательных значений у = 2; 10; 50; 250;…

По мере приближения точки к оси Оу (х 0) переменная ордината у возрастает и притом так, что, как бы велико ни было наперед заданное положительное число N, неизбежно наступает момент, когда абсолютная величина у становится и в дальнейшем остается больше этого числа. Допустим, нами было взято N=1000. Тогда при любых значениях х, начиная с Х = . получим |y| = = 1001; |y| >N.

Следовательно, при х 0 ордината гиперболы ху=1 является величиной бесконечно большой.

Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует тесная связь, которая определяется следующим образом:

1)Если х – величина бесконечно большая, то обратная ей величина будет величиной бесконечно малой.

2) Если х – величина бесконечно малая, то обратная ей величина будет величиной бесконечно большой.

В математике часто используется понятие такой величины, как ограниченная переменная величина.

Переменная величина у называется ограниченной, если при условии данного вопроса ее абсолютная величина |y| остается меньше некоторого положительного числа, то есть |y| < N . Уясним смысл этого определения на примере.

Пример 1: рассмотрим переменную величину sin x. Из тригонометрии известно, что при любом x

-1 sin x 1.

Отсюда видно, что sin x – величина ограниченная, т.к. приняв за N любое число, большее 1 (например 1,1) будем иметь |y|= sin x <1,1.