Моделируемые закономерности

При движении частицы в однородном потенциальном поле вероятность её обнаружения в любой точке пространства одинакова. В неоднородном поле условие постоянства не выполняется.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси в потенциальном поле описываемом функцией, обычно называемой прямоугольным потенциальным барьером (рис. 8.1 а):

а) б) в) I II III

Рис. 7.1. Графики потенциальной функции (а) и реальной части функции при (б) и (в).

,

где – ширина барьера в относительных единицах. Волновая функция частицы с энергией в каждой из областей пространства (I, II, III), имеет вид

(7.3)

Слагаемые в правой части (8.3), содержащие коэффициенты , описывают движение частицы слева направо, слагаемые содержащие коэффициенты – движение частицы в обратном направлении. Отметим, что коэффициент определяет вероятность обнаружения частицы в области III при ее движении из области I, а коэффициент ­– вероятность возврата частицы в область I. Из условия непрерывности функции и её производной в точках и следует система линейных уравнений (8.4), содержащих неизвестные коэффициенты .

(8.4)

Из решения системы (8.4) возникают соотношения, связывающие искомые коэффициенты с энергией частицы , высотой и шириной барьера.

Вероятность проникновения частицы из области I в область III принято характеризовать коэффициентом прохождения , а вероятность возврата частицы в область I – коэффициентом отражения . Коэффициенты и удовлетворяют условию и определяются соотношениями:

, . (8.5)

Если > , то с точки зрения классической механики частица не может перейти из области I в область II. Однако квантовая механика прогнозирует конечную вероятность проникновения (туннелирования) частицы из области I в область III. Точное аналитическое выражение для коэффициента имеет сложный вид, поэтому для оценок используют более простое эмпирическое соотношение:

. (8.6)

В случае барьера треугольной формы (рис. 5.2) коэффициент прохождения оценивают также с помощью эмпирического соотношения:

(8.7)

Если энергия частицы больше высоты барьера ( < ), то согласно законам классической механики частица беспрепятственно проходит из области I в область III. Однако квантово-механическое решение обнаруживает конечную вероятность того, что частица вернется (надбарьерное отражение) в область I. При > показатель экспоненты в (8.3) становится мнимым и волновая функция является осциллирующей функцией (рис.8.1, в). Коэффициент отражения принимает минимальные и максимальные значения (рис. 8.3) в зависимости от энергии частицы и ширины барьера :

(8.8)

где – целочисленный параметр.

Рис. 8.2. Потенциальный барьер треугольной формы	Рис. 8.3. Зависимость коэффициента отражения от энергии частицы в случае