Моделируемые закономерности

При движении частицы в однородном потенциальном поле вероятность её обнаружения в любой точке пространства одинакова. В неоднородном полеусловие постоянстване выполняется.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси в потенциальном полеописываемом функцией, обычно называемойпрямоугольнымпотенциальным барьером (рис. 8.1 а):

а) б) в) I II III

Рис. 7.1. Графики потенциальной функции (а) и реальной части функциипри(б) и(в).

,

где – ширина барьера в относительных единицах. Волновая функция частицы с энергиейв каждой из областей пространства (I,II,III), имеет вид

(7.3)

Слагаемые в правой части (8.3), содержащие коэффициенты , описывают движение частицы слева направо, слагаемые содержащие коэффициенты– движение частицы в обратном направлении. Отметим, что коэффициентопределяет вероятность обнаружения частицы в областиIIIпри ее движении из областиI, а коэффициент­– вероятность возврата частицы в областьI. Из условия непрерывности функциии её производнойв точках иследует система линейных уравнений (8.4), содержащих неизвестные коэффициенты.

(8.4)

Из решения системы (8.4) возникают соотношения, связывающие искомые коэффициенты с энергией частицы, высотойи ширинойбарьера.

Вероятность проникновения частицы из области Iв областьIIIпринято характеризоватькоэффициентом прохождения , а вероятность возврата частицы в областьI– коэффициентом отражения . Коэффициентыиудовлетворяют условиюи определяются соотношениями:

, .(8.5)

Если >, то с точки зрения классической механики частица не может перейти из областиIв областьII. Однако квантовая механика прогнозирует конечную вероятность проникновения (туннелирования) частицы из областиIв областьIII. Точное аналитическое выражение для коэффициентаимеет сложный вид, поэтому для оценок используют более простое эмпирическое соотношение:

. (8.6)

В случае барьера треугольной формы (рис. 5.2) коэффициент прохождения оценивают также с помощью эмпирического соотношения:

(8.7)

Если энергия частицы больше высоты барьера (<), то согласно законам классической механики частица беспрепятственно проходит из областиIв областьIII. Однако квантово-механическое решение обнаруживает конечную вероятность того, что частица вернется (надбарьерное отражение) в областьI. При>показатель экспоненты в (8.3) становится мнимым и волновая функцияявляется осциллирующей функцией (рис.8.1,в). Коэффициент отраженияпринимает минимальныеи максимальныезначения (рис. 8.3) в зависимости от энергии частицыи ширины барьера:

(8.8)

где – целочисленный параметр.

Рис. 8.2. Потенциальный барьер треугольной формы	Рис. 8.3. Зависимость коэффициента отражения от энергии частицы в случае

Задание на подготовку к работе

1.Ознакомится с основными понятиями квантовой механики и моделирования движения частицы в неоднородном силовом поле.

2. Выполнить индивидуальное задание №5, содержащееся в методических указаниях [3].

3. С помощью соотношения (8.7) оценить величину коэффициента прозрачности треугольного барьера () для электрона с энергией.