Список литературы

1. Фриш С. Э., Тиморева А. В. Курс общей физики. — М.: Физматгиз, 1962, Т. 3. § 333, 336

2. Путилов К. А., Фабрикант В. А. Курс общей физики. — М.: Физматгиз, 1963, Т. 3. § 51, 74

3. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1979. р 3, §.57-59.

4. Барщевский Б. У. Квантово-оптические явления. — М.: Высш.. школа, 1982, гл. 2.

Работа 7 (11.4). Исследование туннельного эффекта в вырожденном p–nПереходе

Цель работы: изучение элементов теории туннельного эффекта, исследование проявлений туннельного эффекта в туннельном диоде.

Приборы: лабораторная установка для снятия вольт-амперных характеристик туннельных диодов.

7.1. Общие сведения

1. Если в некоторой области пространства имеется потенциальный барьер конечной высоты E_р0и шириныl(рис. 7.1, а), то по классическим представлениям часгица с энергиейE>E_p0 всегда преодолевает барьер, тогда как частица с энергией, меньшейЕ_р0, барьером зеркально отражается.

В действительности существуют отличные от нуля вероятности отражения барьером частицы с энергией Е>Е_p0 и проникновения сквозь барьер(туннелирования) частиц с энергиейЕ<Е_р0.

2. Туннельный эффект является одним из следствий корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц и может быть количественно исследован путем решения основного уравнения квантовой механики —уравнения Шредингера — с использованием свойств непрерывности волновой функции и ее производных в местах скачка потенциальной функции.

Рис. 7.1. Одномерный прямоугольный потенциальный барьер (а) и плотность вероятности обнаружения частицы в разных местах пространства приЕ<Е_р0(б)

Общее решение стационарного уравнения Шредингера в одномерной, как на рис. 7.1, а, задаче,

,(7.1)

где Е_р(х) —потенциальная функция, имеет вид

ψ = А ехр (ikx) +В ехр (–ikx),

где волновое число k определяется из выражения

В различных областях пространства (области 1, 2 и3 на рис. 7.1) уравнению (7.1) будут удовлетворять различные волновые функции. Учитывая, что волновая функция испытывает «отражение» только в местах разрыва потенциальной функцииЕ_р(х), получаем следующие решения:

ψ₁=А₁ ехр (ikx) +В₁ ехр (–ikx); (7.2а)

ψ₂=А₂ ехр (–βx) +В₂ ехр (βx); (7.2б)

ψ₃=А₃ ехр (ikx); (7.2в)

где ;.

Факт «отражения» учитывается вторыми слагаемыми в выражениях (7.2а) и (7.2б). Эти члены можно интерпретировать как плоские волны, движущиеся в отрицательном направлении оси х. В выражении (7.2в) коэффициентB₃= 0, поскольку в области3 отсутствует физическая причина для «отражения». Использовав граничные условия

; ;

; ,

получим следующие волновые функции в областях 1, 2 и3 (с точностью до постоянного множителяА₁):

(7.3)

где ;.

Для дальнейшего анализа можно упростить выражения (7.3), приняв во внимание, что вероятность прохождения частиц сквозь потенциальный барьер невелика. Положив в (7.3) ехр(–βl)<<ехр(βl), получим

(7.4)

Анализ выражений (7.4) показывает, что частица с энергией Е<Е_p0, движущаяся слева в сторону потенциального барьера, может быть обнаружена как внутри барьера (область2), так и справа от него (область 5). Количественно эффект туннелирования можно оценить, вычисливплотность вероятности обнаружения частицы в каждой из областей пространства. В результате вычислений получаем

(7.5)

Из выражений (7.5) видно, что вероятность туннельного прохождения частицей потенциального барьера существенно зависит от энергии частицы и ширины потенциального барьера. Качественные представления о виде функций (7.5) можно получить из рис. 7.1,б. Вероятность туннелирования частицы принято характеризоватькоэффициентом прохождения (коэффициентом прозрачности) потенциального барьера, который определяется отношением квадратов модулей волновой функции ψ₃и первого слагаемого из ψ₁, описывающего падающую на барьер волну. Коэффициент прозрачности барьера описывается выражением

. (7.6)

3. Туннельный эффект составляет физическую основу действия обширного класса полупроводниковых приборов — туннельных диодов (ТД). Принцип работы ТД можно пояснить с использованием представлений озонной энергетической структуре твердого тела. В процессе образования твердого тела электронные энергетические уровни отдельных атомов вследствие взаимодействия электронов смещаются и образуют энергетические полосы(разрешенные зоны), чередующиеся с зонами энергий, значений которых электроны принимать не могут(запрещенными зонами). Энергетическая ширина как разрешенной, так и запрещенной зоны порядка единиц эВ (~10^–19Дж). Энергетический зазор между отдельными уровнями разрешенной зоны около 10^–22эВ (~10^–41Дж)_;поэтому обычно считают, что энергетический спектр электронов внутри разрешенной зоны практически непрерывен. Наиболее сильно расщепляются энергетические уровни валентных электронов, образуя так называемыевалентную зону и зонупроводимости.

Многие электрофизические свойства твердых тел связаны с электронами в частично заполненных зонах, так как в пределах этих зон электроны могут изменять свою энергию под действием внешних факторов и способны, в частности, участвовать в процессе электропроводности.

Вероятность заселения электронами энергетических уровней в зонах определяется статистикой Ферми —Дирака, описывающей энергетическое распределение частиц, подчиняющихсяпринципу Паули. Вероятность того, что состояние с энергиейЕ при температуреTзанято электроном, определяетсяфункцией Ферми

.

Величину E_F называютэнергией (уровнем) Ферми. Легко видеть, что приT = 0 К функцияw(E, 0) = l, еслиE<E_F, и равна нулю, еслиE>E_F. При любой другой температуре энергия Ферми совпадает с энергией того уровня, вероятность заполнения которого равна 0,5.

Если бы энергетические уровни в зоне были распределены равномерно, то число электронов, имеющих энергию E_i в небольшом интервалеdE, определялось бы из функции Ферми (заштрихованная площадь на рис. 7.2,а). Однако вблизи дна зоны проводимости энергетические уровни расположеныреже, чем в ее верхней части. Распределение энергетических уровней характеризуют функциейF(Е) –плотностью энергетических состояний. С хорошим приближением считается, чтоF(E) в одномерном случае имеет вид

, (7.7)

где m — масса (эффективная) электрона,E_с — энергия, соответствующая дну зоны проводимости. Плотность заполнения электронами уровней энергетической зоны описывается функцией распределения

(7.8)

ее график изображен на рис. 7.2, б.

Общая концентрация электронов в зоне пропорциональна заштрихованной площади на рис. 7.2, б. Аналогичные результаты справедливы и для материала с дырочной проводимостью с тем отличием, что энергия отсчитывается от значенияЕ_v (энергия потолка валентной зоны) в сторону убывания.

Рис. 7.2. Функция Ферми при различных температурах (а) и плотность заполнения электронами частично заполненной зоны (б)

4. При контакте материалов с различным типом электропроводимости образуется р–n-переход. Если материалы относятся квырожденным полупроводникам, то при малой толщине перехода (~10^–8м) возникают условия, благоприятствующие туннелированию носителей сквозь потенциальный барьерр–n-перехода. В вырожденных полупроводниках уровень Ферми находится не в запрещенной зоне, а смещен в полупроводникеn-типа в зону проводимости, объединенную с так называемой примесной зоной, образующейся из энергетических уровней доноров при их высокой концентрации (~10²⁴—10²⁶м^–3). В вырожденном полупроводникер-типа уровень Ферми находится в верхней части валентной зоны, объединенной с примесной зоной акцепторов.

Процесс формирования вольт-амперной характеристики туннельного диода можно проследить по рис. 7.3 и 7.4. Если напряжение на диоде равно нулю, ток через диод также равен нулю, так как число переходов электронов слева и справа на рис. 7.3, аодинаково. При приложении к диоду прямого напряжения (рис. 7.3, б) энергетические уровни вр-области смещаются вниз в сравнении с уровнями вn-области; границы зон будут сближаться. Число переходов электронов из областип в областьрувеличивается, так как большей плотности занятых состояний в областип будет соответствовать большая плотность свободных состояний («дырок») в областир; одновременно уменьшается число переходов электронов изр-области вn-область (рис. 7.4). Ток будет увеличиваться (рис. 7.5) до тех пор, пока не произойдет совпадения максимумов функций распределения (черные точки на рис. 7.4); дальнейшее увеличение прямого смещения вызывает уменьшение туннельного тока. По достижении напряженияU_min(совпадение границ зон проводимости и валентной) туннельные переходы прекращаются, так как против занятых электронами уровней будут находиться запрещенные энергетические состояния. Отличие от нуля токаI_min(рис. 7.5) и дальнейшее увеличение прямого тока по мере возрастания напряжения объясняются обычным механизмом инжекции носителей зарядов.

Рис. 7.3. Зонные диаграммы туннельного диода при нулевом смещении (а), прямом смещении (б) и обратном смещении (в)