Назовем ST и «т соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для функции / при заданном разбиении Т отрезка [а,Ь]. Заметим, что эти суммы не зависят от выборки Д Рассмотрим свойства сумм Дарбу.
Св о й с т в о 1. Для любой выборки С справедливы неравенства
s T С от(£) С S T -
(6)
О Так как для любого Д € Д* выполняются неравенства
т ^ /(Сг) С
то
п>. Ах,
^ / ( С ) Д ж *
СMi Ах,.
Складывая эти неравенства, получаем
п
п
п
Т , ш‘Х г ‘ ^
«с
MiAxi-
(7)
г=1
г=1
г=1
Согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы <т утверждения (7) и (6) равносильны. •
Св о й с т в о 2. Справедливы равенства
S T = sup о т / ) ,
(8)
С
ST = inf стт(0-
(9)
О Докажем утверждение (8). Согласно определению точной верхней грани нужно доказать, что выполняются следующие условия:
V £ ^ c t t (£) CSV, Ve > 0 З Д: S T - a T ( f ) < £■
Первое из этих условий выполняется в силу (6). Докажем второе условие.
Так как А / = sup f(x), то по определению точной верхней грани жеЛ;
Ve > 0 3 С' = Ш е А 4: 0 ^ А / - / / ' ) <
* = М -
Умножая г-е неравенство на Дж* и складывая все получаемые нера венства, находим
0 С S T — <гт(Д) < £,
где С = {С', г = 1,п} — выборка. Итак, утверждение (8) доказано. Аналогично доказывается, что справедливо и утверждение (9). •
§34Определение и условия сущ ествования определенного интеграла 321
Следующее свойство сумм Дарбу связано с еще одним понятием для разбиений. Назовем разбиение Т2 продолжением (измельчением) разбиения Т), если каждая точка разбиения Т) является точкой раз биения Тч- Иначе говоря, разбиение Т2 либо совпадает с разбиени ем Т), либо получено из Т) добавлением по крайней мере одной новой точки.
Св о й с т в о 3. Если разбиение Т2 — продолжение разбиения Т), то
S T , С «т2 С S T 2 С S t d (Ю )
т. е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшает ся, а верхняя не увеличивается.
О Для доказательства неравенств (10) достаточно рассмотреть слу чай, когда разбиение Т2 получается из разбиения Т) добавлением только одной точки х1€ (ж*_1 ,ж*). Пусть Д' и Д" — отрезки, на ко торые точка х1разбивает отрезок Д*, a Ai и Аг — длины этих отрез
ков; тогда
Дж* = Ai + Аг. Обозначим то' = inf /(ж), то" =
inf /(ж).
Очевидно,
что то', то*, то'„ то*.
хеА"
В суммах s t2 и st, равны все соответствующие слагаемые, за ис
ключением тех, которые связаны с отрезком Д*. Поэтому
$т2 — ST, = to'Ai + то"А2 —m*(Ai + А2),
где то' ^ то*, то" ^ то*. Следовательно,
ST2 — ST, =
(ш- —m*)Ai + (то" —то*)А2^ 0,
т. е. st* ^ «т2-
Аналогично
доказывается неравенство
S t2 ^
St,- Отсюда, ис
пользуя неравенство s t2 S S t 2 ( C M . (6)),
получаем цепочку
нера
венств (10). •
4. Для любых разбиений Т 1 и Т"
справедливо
нера
Св о й с т в о
венство
ST <Д, ST " ■
(11)
О Пусть разбиение Т является продолжением как разбиения Г', так
иразбиения Т" (в качестве Т можно взять Г' и добавить к нему те точки разбиения Г", которые не входят в Г').
Из неравенств (10) при Т) = Г', Т2 = Т получаем
S T 1 ^ S T ^ S T -
Полагая в (10) Т2 = Т и Ti = Г", находим S t St" •
Объединяя полученные неравенства, имеем
ST>^ ST ^ S t ^ St», откуда следует неравенство (1 1). •
322 Гл. VII. Определенный интеграл
С в о й с т в о 5. Существуют числа
J_= sup S T ,
J = inf S T ,
T
T
удовлетворяющие для любых разбиений Т' и Т" отрезка [а, Ь] условию
(12)
Эти числа называют соответственно нижним и верхним интеграла ми Дарбу от функции / на отрезке [а, Ь].
О Из неравенства (11) по теореме об отделимости числовых мно жеств (§ 2, теорема 2) следует, что существуют J = sup St и J = inf S t (супремум и инфимум по всевозможным разбиениям отрезка [а, Ь]) и для любых разбиений Т' и Т" выполняется неравенство (12). •
В заключение отметим, что свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке [а, Ь] функции.
5. Критерий интегрируемости функции.
Т е о р е м а 2. Для того чтобы функция f(x), определенная на от резке [а, Ь], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и доста точно, чтобы эта функция была ограничена и удовлетворяла условию
Ve > 0 3 4 > 0 :
VT: 1(Т) < 6е -> 0 4 ST - sT < е.
(13)
О Не о б х о д и мо с т ь .
Пусть функция / интегрируема на отрезке
[а,Ь]. Тогда она ограничена (теорема 1) и в силу определения интег рала
3 J : Ve > 0 3 4 > 0 : VT: ЦТ) < 6е V£ -> J - |
< ат(0 < J + L
О
О
Таким образом, при каждом разбиении Т отрезка [а,Ь], мелкость
которого удовлетворяет условию ЦТ) < 5е, неравенство
J ^ < a T( C ) < J + |
(14)
выполняется при любой выборке £. Поэтому из левого неравенст ва (14) и равенства (9) следует, что
J ~ I ^
С
= sT.
(15)
3
Аналогично из правого неравенства (14) и равенства (8) следует, что
ST = sup<tt(£) ^
J + §•
(16)
С
3
Из неравенств (15), (6) и (16) получаем цепочку неравенств
J - I ^ S T ^ S T ^ J + §,
откуда следует, что
0 4 ST — S T ^ Щ- < £■
О
Итак, интегрируемая на отрезке функция / удовлетворяет усло вию (13).
§34■ Определение и условия сущ ествования
определенного интеграла 323
Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть функция /
ограничена на отрезке [а, Ь]
и удовлетворяет условию (13). Докажем, что функция / интегрируема на отрезке [а,Ь], т. е.
3 J : Ve >0 3 4 > 0 : VT: l(T) < 6е V£ ->|стт (£) - J\ < е. (17) Воспользуемсясвойством 5. Из неравенств (12)следует, что
0 4 J ~ J- 4 ST ~ ST ,
откуда в силу (13) получаем неравенство
0 4 J ~ J. 4 ST ~ ST < е,
справедливое для любого разбиения Т такого, что 1(Т) < 5е. Так как числа J и J не зависят от Т, то отсюда следует, что
1 = 1
Обозначим
_
J = J = J
(18)
и докажем, что число J есть интеграл от функции / на отрезке [а,Ь]. Из (12) и (18) следует, что
ST 4 ^ 4 ST ,
(19)
а из (19) и (6) в силу (13) получаем
к т ( 0 — J\ 4 S T — S T < е.
Это означает, что функция / интегрируема на отрезке [а,Ь], а чис ло J есть интеграл от f(x) на [а,Ь]. •
Следствие . Если функция / интегрируема на отрезке [а, Ь], а число J — ее интеграл на этом отрезке, то
J = sup ST = inf ST .
З а м е ч а н и е 2. Назовем к о л е б а н и е м ф у н к ц и и f н а
о т р е з к е
А, = [xi-i,Xi]
разбиения Т
= {xi,
г = 0, п }
число
tOiif) =Шг = Mi -
пц,
где Mi = sup
f ( x ) ,
гп,
= inf
f ( x ) . Тогда
жеД;
Х(=А‘
п
1
П
ST -
sT = Y ,(M i ~ mi)Axi = V'tVi ДXi.
i=l
i=1
Условие интегрируем ости (13) часто записы ваю т в виде
П
S T
—ST=
.с, А х , —>• 0
при 1{Т)
—>• 0.
(20)
г= 1
За м е ч а н и е 3. При доказательстве свойств интеграла (§ 35, п. 1) будет использовано следую щ ее равенство:
< * ( /) =
sup \ f ( x " ) - f ( x ' ) \ .
(2 1 )
х ', х " G
324
Гл. VII. Определенный интеграл
О Согласно определению
точной верхней
грани равенство
(21) означает,
что вы полняю тся следую щие условия:
— /(* 0 1
^ Af; —п н
для
любых
ж', х " € А»;
(22)
Ve >
0 Зх'е € А»
3 х " € А ; :
М{ — т,{ — е <
\ f ( x " ) — f(x'e)\.
(23)
Зам етим , что формула (21) справедлива, если М{ = тщ, так как в этом
случае f i x )
= М{ = тщ для всех * С А». Пусть М{ > тщ, тогда для любых
х', х" € А ;
справедливы неравенства тщ ^
/( * ')
М», тщ
f i x " )
5$ Mi,
откуда следует, что выполняется условие (22).
Для доказательства условия (23)
зададим произвольное
число
е > О,
удовлетворяю щ ее условию е < М» —тщ.В силу определения точны х граней
найдутся точки
е А ;, ж” С А ; такие, что
/(*() < m + | < M i - | < fix"),
откуда следует, что выполняется условие (23). •
З а м е ч а н и е
4. Можно доказать, что если для
любого е > 0 сущ ест
вует такое разбиение Т = Т (е), что S ~ — s ~ < е, то
найдется число S > О
такое, что для любого разбиения Т , мелкость которого 1{Т) < 8, выполня ется неравенство S T — ST < £ (см., например, [1 , т. 1 ]). Поэтому критерий
интегрируем ости можно сформулировать так: для того чтобы
ограничен
ная ф ункция /
была интегрируем а по Рим ану на отрезке [а,Ъ],
необходимо
и достаточно,
чтобы для любого
е >
0 сущ ествовало такое разбиение Т
отрезка [а,Ъ], что
S T
— ST
V £•
6. Классы интегрируемых функций.
Т е о р е м а
3. Если функция непрерывна на отрезке, то она интег
рируема на этом отрезке.
О Пусть функция / непрерывна на отрезке [а,Ь]. Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке, т. е.
Ve > О 3<5 = <L>0: Уж', ж" € [а, Ь]: |ж' —ж"| < 5 ^
- Ч / ( * ' ) - / ( * " ) 1 < ^ -
(24)
Докажем, что для функции / выполняется условие (13).
Пусть
Т = {ж, , i = 0, те} — произвольное разбиение отрезка [а, Ь] такое, что
его мелкость 1 { Т ) =
max Дж* <
5 , где Дж, =
ж, —ж,_1 . По теореме
1
г<Сп
[ж,_1 ,ж,]
Вейерштрасса существуют точки
СОО” € Д ,
=
такие, что
/(СО = Шг, /(С'о =
м г; где тоj =
inf
fix), Mi
= sup fix), i = l,n.
x e & i
х € д .
Поэтому из условия (24) следует, что
= М* —то, = /(£") —/(СО <
< ----- , так как |£" —CiI /
Д x i /
ЦТ)
< 6. Отсюда получаем
П
П
Е
сOi A Xi
<
----
>
А х г = - 1- - - - - -(Ь—а)= г .
b —а
'
b —а
г= 1
г= 1
Итак,
п
У е > 0 3 5 = 6 е > 0 : V T : 1 { Т ) < 6 - > S T -
s T =
Д ж * < е ,
1 = 1
§34■ Определение и условия сущ ествования определенного интеграла 325
и по теореме 2 функция / интегрируема на отрезке [а,Ь]. •
Упражнение 1. Доказать теорему 3, используя понятие модуля не прерывности функции.
Пр и м е р 2. Доказать, пользуясь определением интеграла и тео ремой 3, что:
ь
ь
, ,
a) J d x = Ъ—а;
б) J x d x = —
а
а
А Функции /(ж) = 1 и /(ж) = х непрерывны на отрезке и в силу теоремы 3 интегрируемы. Пусть Т = {xi, i = 0,те} — произвольное разбиение отрезка [а,Ь].
ПП
а) Если /(ж) = 1, то <тт(£) = 1 • Аж* = ^ ( ж , —ж*_i) = х п — XQ =
i= i
*=i
ь
= Ъ— а, откуда lim <тт(£) = b — а, и поэтому
dx = Ъ—а.
1 ( Т ) ^ 0
)
а
б) Пусть (, = Х%+ х%~1; тогда £, G Д* = [ж*_1 ,ж*] для i = 1,п,
и, следовательно, 0т(С) =
п
\
П
—x*_i) =
^
6' Дх* = 2
п
г = 1
г = 1
= \
~ X"i-1) = ^
"
° 2)’ 0ТКУДа Д Д Д Д Д 'й =
~ ° 2)-
г=1
Так как функция /(ж) = ж интегрируема на отрезке [а,Ь], то из определения интеграла следует, что предел интегральной суммы не зависит от выбора точек £* на отрезках Д*. Поэтому
ь
J x d x = - (b2 —а2). ▲
а
Т е о р е м а 4. Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на этом отрезке.
О Пусть, например, функция / является возрастающей на отрезке [■а,Ь]; тогда для всех ж G [а, Ь] выполняется условие
Да ) ^ /Д ) SCf(b),
ипоэтому функция / ограничена на отрезке [а,Ь].
Рассмотрим
произвольное
разбиение
Т = {ж,,
i = 0, те}
отрез
ка
[а,Ь]. Тогда
/(ж*_1 ) = то,,
/(ж,) = А/,,
где
то, =
inf
/(ж),
М* =
=
sup /(ж), Д* =
[ж*_1 ,ж*].
Следовательно,
ЖЕAf
S t —«т
=
получаем
жеД;
п
п
=
5^(М *-ш*)Аж*
= Е ( / ( ж г) - / ( ж г- 1 ))Джг, откуда
ST -
sT
^
г=1
г=1
326
Гл. VII. Определенный интеграл
п
^ КТ )
" / ( ж*-1)) = 4 T )(f(b) -
/(«)), так как
г—1
Axi ^
max Дж* = 1(Т).
/(ж ,) —f ( x i - 1 ) ^ 0,
1$Сг<Сп
Отсюда имеем, что ST ^ ST ^
0 при 1(Г) —^ 0. По теореме 2 функ
ция /
интегрируема на отрезке [а,Ь]. •
§ 35. Свойства определенного интеграла
Заметим сначала, что если
функция / интегрируема на отрез
ке [а, Ь], то интеграл от этой функции является числом, не зависящим от того, какой буквой обозначен аргумент подынтегральной функции,
т. е.
6
6
6
J f ( x ) d x
= j f ( t ) d t
= J f(z)dz.
a
a
a
b
Иногда бывает удобно вместо записи J f ( x ) dx использовать запись
J f ( x ) dx, где Д = [а, Ь].
“
д
Перейдем к рассмотрению свойств определенного интеграла. Все отмеченные ниже свойства доказываются в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
1. Свойства, связанные с операциями над функциями.
Св о й с т в о 1. Если функции f u g интегрируемы на отрезке [а,Ь], то для любых чисел а и (3 (а (=R, (3G R) функция (р(х) = af(x) + (3g(x) также интегрируема на отрезке [а, Ь] и справедливо равенство
6
6
6
(1 )
J (a f( x) + (3g(x)) dx = a J f(x) dx + (3j g{x) dx.
a
a
a
О Пусть <тт(£; У5)) 0t(C; /),
g) — интегральные суммы для функ
ций ip, f и g соответственно при заданном разбиении Т отрезка [а, Ь] и фиксированной выборке £. Тогда имеет место равенство
от(£; Г>) = аатЦ; /) + f3aT (f;g).
Если мелкость разбиения Т стремится к нулю (1(Т) —>■0), то правая часть этого равенства в силу интегрируемости функций / и g на отрезке [а, Ь] имеет предел, а поэтому существует предел и в левой части и при этом справедливо равенство (1 ). •
Св о й с т в о 2. Если функции f u g интегрируемы на отрезке [а,Ъ], то функция р(х) = f(x)g(x) также интегрируема на этом отрезке.
§35. Свойства определенного интеграла
327
О Из интегрируемости функций / и g следует, что эти функции огра ничены на отрезке [а,Ь], и поэтому
З С > 0: Уж € [а, Ь] —^ |/(ж)| ^ С, |<?(ж)| ^ С.
(2)
Следовательно, функция tp ограничена на отрезке [а,Ь].
Пусть ж', ж" — произвольные точки отрезка [а,Ь]; тогда из ра
ж' € Aj, ж" € А*, сс,(/) и сс,(<?) — колебания на отрезке Д* функ
ций f u g
соответственно (см. § 34, замечание 2), то согласно фор
муле (21), § 34
uji(f)=
sup |/(ж") - /(ж')|, uji(g) =
sup
\д(х") - д(х')\.
х ' :
х ' :
i
Поэтому из неравенства (3) следует, что
\ф " ) - ф ’)\ ^
+uji(g)),
откуда получаем неравенство
сOi(ip) ^ C(aJi(f) + Ui(g)),
i = Tfn.
(4)
Умножая i-eнеравенство (4) на AXj и складывая все получившиеся неравенства, находим
п
п
п
УУг(<Р)Дж* ^ С ( $ > ( / ) Д ж г + У Ь’гЫДж*).
(5)
i=1
i= 1
i=1
Так как правая часть (5) стремится к нулю, если мелкость разбие ния Т стремится к нулю (§ 34, замечание 2), то и левая часть (5) стремится к нулю, откуда следует интегрируемость функции tp на отрезке [а,Ь]. •
У п р а ж н е н и е 1. Д оказать, что если ф ункция
/(ж ) интегрируем а на
отрезке [а, Ь] и
С,
3(7 > 0: Уж € [ а , Ь] ->• |/(ж )| >
то ф ункция —— интегрируем а на отрезке Га, 61.
/( ж )
2.Свойства, связанные с отрезками интегрирования.
Св о й с т в о 1. Если функция /(ж) интегрируема на отрезке Д =
=
[а,Ь], то она интегрируема на любом отрезке Ai С Д.
О
Пусть Ai = [ai,bi], тогда а ^ а\ < Ь\ ^ Ь, так как Ai С Д. Нуж
но доказать, что для любого разбиения Т) отрезка Ai выполняется
328 Гл. VII. Определенный интеграл
условие STX —Sti = J^w*(2i)A £j —^ 0 при l(Ti) 0, где l(Ti) — мел
кость разбиения Ti, Wj(Ti) — колебание функции / на г-м отрезке разбиения Т\.
Рассмотрим такое разбиение Т отрезка [а,Ь], которое имеет на отрезке Ai те же точки разбиения, что и Ti, и, кроме того, мелкость
разбиения Т удовлетворяет условию l(T) sC /(Ti).
Заметим, что
(6)
^ \с ,А .г, ^
>с(А.г(.
тг
т
так как все слагаемые в левой и правой частях (6) неотрицательны, а правая сумма соответствует разбиению Т отрезка [а, Ь] и содержит все слагаемые левой суммы, составленной для разбиения Т\ отрез ка [a-i, bi].
Пусть l(Ti) 0; тогда l(T) 0 и по теореме 2, § 34 правая часть (6) стремится к нулю. Но тогда и левая часть (6) для любого разбие ния Ti такого, что Z(Ti) —^ 0, стремится к нулю. Используя достаточ
ное условие теоремы 2, § 34, получаем: функция f(x)
интегрируема
на отрезке Ai. •
Св о й с т в о 2. Если функция f(x)
интегрируема на отрезке [а, Ь]
и а < с < Ь, то справедливо равенство
Ь
с
Ь
J f ( x ) d x
= J f ( x ) d x
+ J f( x )d x .
(7)
а
а
с
О Существование интегралов в правой части доказано в свойстве 1. Для доказательства формулы (7) воспользуемся равенством
о т (/; С) = От(/; О + От(/; О,
где а1и сг" — интегральные суммы функции / наотрезках [а, с] и [с, Ъ]разбиения Т, причем с является точкой этого разбиения.
Если l(T) 0, то в силу существования интегралов существуют пределы интегральных сумм а, а1, а" и справедливо равенство (7). •
З а м е ч а н и е 1. Справедливо утверж дение, обратное утверж дению , до казанному в свойстве 2 : если а < с < Ь и если ф ункция f ( x ) интегрируем а на отрезках Га, с] и [с, Ь], то она интегрируем а на отрезке [а, Ъ] и справедливо равенство (7).
Следующее свойство требует расширения понятия интеграла
ь
j f(x) dx на случай, когда Ъ = а, а также на случай, когда а > Ъ.
а
Положим по определению
а
J f ( x ) d x = 0,
(8)
а
§35. Свойства определенного интеграла
329
если функция / определена в точке а.
Если функция интегрируема на отрезке [а, Ь], то будем считать по
определению, что
J f(x) dx = —J fix) dx, a <b.
(9)
b
a
Определения (8) и (9) естественны. В самом деле, при а = Ьможно считать, что длины всех отрезков разбиения равны нулю, и поэтому
любая интегральная сумма равна нулю.
а
В случае Ъ > а можно символу J f ( x ) dx поставить в соответ-
ь
ствие интегральные суммы, которые отличаются лишь знаком от соответствующих интегральных сумм для интеграла
ь
I dx.
Св о й с т в о
3. Если функция / интегрируема на отрезке [а, Ь] и
если Ci, С2, Сз — любые точки этого отрезка, то
с з
с
2
с з
J f ( x ) d x = J fix) dx + J fix) dx.
(10)
C\
C\
C2
О Пусть Ci <
C2 <
Сз, тогда
равенство
(10) справедливо
в силу
свойств 1 и 2.
Докажем формулу (10) для случая, когда Ci < Сз < Сз (другие слу
чаи рассматриваются аналогично). В силу свойства 2
С3
d x =
f(x) dx +
I fix) dx,
С1
C\
c 3
откуда получаем равенство (10), так как
согласно определению (9)
С3
I dx = — fix) dx.
С3
С2
Если Ci = Сз, то формула (10) справедлива в силу определений (8) и (9). •
3. Оценки интегралов.
У т в е р ж д е н и е 1. Если /(ж) ^ 0 для всех х € [а, Ь] и если функ ция f{x) интегрируема на отрезке [а,Ъ], то
