Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf
Скачиваний:
159
Добавлен:
19.01.2020
Размер:
8.17 Mб
Скачать

310 Гл. VI. Неопределенный интеграл

При нахождении интеграла (14), где Рп (х) — многочлен степени те, удобно использовать формулу

Рп(х)

dx = С/(х)л/ах2 + Ъх + с + AJ

dx

(17)

/ л/ах2 + Ьх + с

л/ах2 + Ьх + с

 

 

В этой формуле Q(x) — многочлен степени не выше те —1, Л — не­ которое число. Дифференцируя тождество (17) и умножая затем обе

части получаемого соотношения на 2\/ах1 Ъх + с, находим

 

2Рп(х) = 2Q'(x)(ax2 + Ъх + с) + Q(x)(2ax + b) + 2А.

(18)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в тож­ дестве (18), вычислим коэффициенты многочлена Q(x) и число А. Заметим, что интеграл в правой части формулы (17) сводится к таб­

личному с помощью линейной подстановки.

 

Пр и м е р

6. Найти J = J -

х ^х

 

 

 

 

 

 

 

л/х2 + X + 1

 

 

А Воспользуемся

формулой

 

(18), где Рп(х) = ж2 , Q(x) = Ах + В.

Получим тождество

2х2 = 2А(х2 + х + 1) Ч (Ах + В)( 2х + 1) + 2А,

откуда следует, что

 

 

 

 

 

 

2 = 2А + 2А,

0 = 2А + А + 2В,

0 = 2А + В + 2А.

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А = Ь

B = - V

Г

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

dx

_

Г

dt х -I—

 

 

 

 

2

= ln ( X

x

С,

J

л / х 2 + X + 1

J

 

 

Х + -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4

 

 

 

 

 

f

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J = (J^x -

^ л/х2 + х +1 -

i In (ж + i

+ л/х2 + х+ 1 ^ + С.

Рассмотрим интеграл (15). Подстановкой

t = - L -

X

этот интеграл сводится к интегралу (14).

Обратимся, наконец, к интегралу (16). Если существует число ш такое, что для всех ж G R выполняется равенство ах2 + Ъх + с = ш(ж2+ + рх + q), т. е. Ъ= ар, с = aq, то интеграл (16) можно представить в виде линейной комбинации интегралов

 

(2ж + р) dx

dx

Л =

ж2 +рх + q)k+1/2

•h = I'x 2 + p x + q)k+1/ 2

§33. Интегрирование функций

311

Интеграл Jp сводится к табличному, а интеграл J2 подстановкой Абеля

и = (л/х2 + рх + q)' = — 2.x+р _

(19)

2у/ х2 + рх + q

 

сводится к интегралу от многочлена.

 

Если Ъф ар, то используется подстановка

 

at + /3

„ч

1 = т г т ■

(20)

где числа а и (3 подбираются такими, чтобы коэффициенты

при t

в квадратных трехчленах подынтегральной функцииобратились в нуль. При этом интеграл (16) примет вид

P(t)dt

/ (t2 + X)k^/pt2 + v

где P(t) — многочлен степени 2k —1, Л > 0.

Заметим, что если Ъ= ар, но сф aq (случай Ъ= ар, с = aq рассмот­ рен выше), то вместо подстановки (20) можно применить подстановку

^

Р

X = t -

 

Чтобы вычислить интеграл (21), разложим правильную рацио­ нальную дробь на простые дроби и представим интеграл (2 1) в виде линейной комбинации интегралов вида

тi

=

f

i(tt

,

и J

тн

=

f

dt

,

,

..

J

J

 

 

J

 

где toGA/.

 

 

(t2 + X)mл/pt2 + a

 

 

 

(t2 + X)m^Jpt2 + v

 

 

Интеграл J ' вычисляется с помощью подстановки те2 = p,t2 + v, а ин­

теграл J" — с помощью подстановки Абеля v = —. ^

.

y/p.f- + v

 

в) Интеграл вида

(22)

'x m(axn + b)p dx,

h

 

где 5 — действительные, то, те, р — рациональные числа, причем

а ф 0, Ъф 0, п ф 0, р ф 0, называют интегралом от дифференциального бинома. Интеграл (22) сводится к интегралу от рациональной функ­ ции в следующих трех случаях ([2]):

i'i

г

-7

Z;

r A m

+ l , - - 7

w f l , ^ - 7

1)

р

G

2)

------ G Z;

3 ) --------- 1- р б Z.

 

 

 

 

 

п

п

В первом случае применяется подстановка х = tq, где q — общий знаменатель дробей то и те, во втором и третьем случаях — соот­ ветственно подстановки

axn + b = ts и a + b x ^ n = ts,

где s — знаменатель дроби р.

312

Гл. VI. Неопределенный интеграл

Отметим, что эти случаи были известны еще Ньютону, но лишь в середине XIX века выдающийся русский математик Пафнутий Льво­ вич Чебышев доказал, что интеграл вида (22) в других случаях не выражается через элементарные функции.

Пр и м е р 7. Найти ( .

J VI + х4

А Это интеграл вида (22), где т = 0, п = 4, р = ^ - и HLlh р =

= 0. Полагая t = (1 + х 4)1//4, получаем t4 = 1 x = —4х 5 dx, х4 = t4 - 1'. Следовательно,

dx

x4 dx

Iv m

/ * 3V 1 + x

t" dt

1

J 1 - 14

t

 

1

1 ) ( - t3)dt =

It(t4

1

 

 

t + 1

f- + lJ dt= 4 ln

t -

1

1 .

Vl + X 4 + x

-

arctg

= - m

,

, -------

4

Vl + x4 - x

 

 

откуда 413 dt =

- arctg t \-c =

V i + * 4 c. к

X

3.

И н т егр и р о в а н и е т р и г о н о м ет р и ч е ск и х и ги п ер б о л и ч ес ­

к и х ф ун к ц и й .

а) Интеграл вида

jR (s m x , cosx)dx,

(23)

где R(u,v) — рациональная функция от и и v, можно свести к интег­ ралу от рациональной дроби с помощью подстановки

 

 

 

 

t = t g - ,

X £Е(

7Г, 7г)

 

 

 

(24)

так как

21

 

 

 

1 -

Г

 

 

 

 

 

 

2 dt

sin ж =

 

cosx =

х = 2 arctg t, dx =

 

1 + t2

 

1 + t2

 

 

 

 

 

i + ¥

Пр и м е р

8. Найти интегралы

dx

и

С dx

 

 

f — L

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J smx

 

J cosx

 

А а) Применяя подстановку (24), получаем

 

 

 

 

 

 

 

f dx

 

 

,

X

 

c.

 

(25)

 

 

 

J sin*

 

 

 

~2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Используя формулу (25), находим

 

 

 

 

 

 

Г

dx

_

Г

d[x + -

 

In •VI

 

 

 

 

 

2

=

 

 

c.

A

J COSX

 

J sin I 1---

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем другой способ вычисления интеграла (25):

 

dx

 

ffsinxxdxx

f

d(cosx)

=

1

 

1

cosUUb Xx

,-4

h

 

J

sin2x

h

 

1

5 ln

1

--------- h C'

 

 

 

2

 

+ cos x

 

§33. Интегрирование функций

313

За ме ч а н и е 5. Подстановка (24), которую называют универсальной, часто приводит к громоздким вычислениям интеграла (23). Поэтому ее ис­ пользуют лишь в тех случаях, когда не видно других путей к вычислению интеграла (23).

Если подынтегральная функция R удовлетворяет одному из условий:

а) R (—sin ж, cos ж) = —jF2(sin ж, cos ж), б) R (sin ж, ^ cos ж) = —jF2(sinж, cos ж), в) Д(—sinx, —cosx) = i?(sinx, cosx),

то для нахождения интеграла (23) можно использовать соответствен­

но подстановки t = cosx, х £ (0, 7г); t = sinх, х £ ^

- t = tgx,

X £

(

,

г,

 

I —- , -

I, или t = cos lx.

 

 

В приложениях часто встречаются интегралы вида

 

 

 

sin™ ж cos” ж dx, то £ Z, те £ Z.

(26)

 

 

/■

 

 

 

При вычислении интеграла вида (26) можно руководствоваться

следующими правилами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) если то + те — четное число, то применяется либо подстановка

t = tgx, либо подстановка t = cos2x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

если

то + те

нечетное

число,

то

используют

подстановку

t = sin ж или t = cosx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр и м е р 9. Найти интеграл вида (26) в следующих случаях:

 

 

а) то =

0, те = ^ 6;

б) то = 3, те =

4;

 

 

 

 

 

 

 

в) то =

2, те = 4;

 

г) то = —1, те =

—3.

 

 

 

 

 

 

А

а)

Воспользуемся

подстановкой

t

= tgx.

Так как

'G,

 

=

dt,

 

 

= 1

 

 

1

 

 

 

 

 

f (1

 

cos2х

 

 

 

+ t g 2x =

+ t2,

то

f

 

=

+ t2)2dt

= t + l t 3 +

COS; ж

 

 

 

 

 

 

J COS0 ж

 

J

 

 

 

3

 

+ ^~ + С = t g x f l

+

|t g 2x +

^-tg4x') + C.

 

 

 

 

 

 

 

5

 

4

 

3

 

5

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) J sin3 ж cos4 ж dx = J (cos2 x 1 ) cos4xd(cosx) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ c o s ' ж

c o s 0 ж

n

 

в)

Воспользовавшись формулами

sin ж cos ж = -sin2x,

cos2 ж =

=

i ( l + cos2x), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J sin2 ж cos4xd x = ^ J sin2 2x(l

+ cos 2x) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

= ^ J

(1 —cos4x) dx +

 

sin2 2xd(sin 2x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

I

s

2ж +

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

= — ж —— sin 4x + — sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

64

48

 

 

 

314 Гл. VI. Неопределенный интеграл

 

г)

Используя тождество sin2 ж + cos2 х =

1, находим

 

 

Г

 

d x

fГ ssmi n *х

, ,,

/Г

d x

 

 

 

 

 

 

 

------------ 7---

7---

U X +

sm x cos x

 

 

 

 

 

 

J

sin х

cos х

J cos

x

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f d ( c osx)

fd(t,g x )

1

,

|

|

 

 

 

= -

,

+

J

I

= ~----— + In tg x

+

C.

 

 

 

 

J

COS

X

t g x

1 COS

X

 

 

 

 

Пр и м е р

10. Найти интегралы от функций:

 

 

 

 

 

а) sin х sin Зж;

б) (sin2 ж + 2 sin ж cos ж + 5 cos2 ж)-1 .

 

 

А

а) Так как

sin a

sin /3 =

^(cos(a —(i) —cos(a + (i)),

то

 

 

 

J

sin ж sin Зжdx = ^ J ( cos 2ж —cos 4ж) dx =

_

sil^4a: +

c.

 

б) Разделив числитель и знаменатель на cos2 ж и полагая tg ж = t,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

d x

 

 

_ [f

d x / c o s 2 ж

 

_

 

 

 

J

sin2 x + 2 sin x cos x

+ 5 cos2 x

J

tg 2ж +

2tg x

+ 5

/ 1 + tg ж

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

dt

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

У0

+

1)= +

4 = 2

arC tS (--2--

 

 

 

Интеграл вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JR(shx, dix) dx,

 

 

 

 

(27)

где R(u,v) — рациональная функция от и и v, сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки

1

 

21

,

1

+R ,

 

2 dt

так как впж =

1

- t2

спж =

1

- t 2

dx =

-----

 

 

 

1

- t 2

Иногда более эффективными при вычислении интеграла (27) мо­ гут оказаться подстановки t = sh ж, t = ch ж, t = th ж, t = ch 2ж или метод интегрирования по частям.

Пр и м е р 1 1 . Найти J = J сЬ5ж8Ь 4жс1ж.

А Так как сЬ2ж = 1 + вЬ2ж, сЬжс1ж = d(sЬж), то, полагая вЬж = t, получаем

J — I (1 + t’O’T4 dt — —+ — + —+ С —

= sh 5ж( -

+ - sh 2ж + - sh 4ж') С.

\5

7

9

/

В заключение отметим, что интегралы от трансцендентных функ­ ций часто не выражаются через элементарные функции. К таким

Упражнения к главе V I

315

интегралам относятся, например, следующие встречающиеся в приложениях интегралы:

а) J е^х

dx интеграл Пуассона;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) J sin х2 dx и J cos х2 dx интегралы Френеля;

 

 

 

\

f

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

j

интегральный логарифм;

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

f sin х

7

 

интегральный синус;

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

J

 

х

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f cosx

 

интегральный косинус.

 

 

 

 

 

 

 

д)

J

 

х

ах —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УПРАЖ НЕНИЯ К ГЛАВЕ VI

 

 

 

 

 

 

1. Д оказать,

что ф ункция /( * ) = sig n * не им еет ни одной первообраз­

ной на R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. П ривести пример разрывной функции, имеющ ей первообразную на R.

3. Н айти все первообразные функций х\х\ и е)х ^ на R.

 

 

 

4 . Пусть

Рп (х)

— многочлен степени п

и а

ф

0.

Д оказать формулу

 

 

 

 

 

Рп (х)еах dx = -—

( _ i ) 4 £ y y l

+

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

a

L

 

 

 

9

,

,

,

 

 

ег

т т

 

 

 

 

 

 

к =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

aix

“Н

О \ Х

“I С \

.

U,

5. При каком условии первообразная функции

а х -

------------, где a f

 

Ь~ ф 4ас, является рациональной функцией?

 

+ Ьх + с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 . Д оказать,

что для

интеграла

J n,m

=

j sin" * cos™ * dx, где n

 

А/,

m € N, справедлива рекуррентная формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

_

sin"-1 *cosTO+1 ж

,

n —1

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J n , m

n + rn

 

n + rn J n — 2 ,m *

 

 

 

7.

П усть

F(x) — первообразная для функции f(x) на всей числовой

прямой. Д оказать или опровергнуть следую щ ие утверж дения:

 

 

а)

если /( * )

периодическая функция,

то и

Р ( х )

периодическая

функция;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) /( * ) — нечетная функция, то Р ( х )

— четная функция;

 

 

в) если /( * ) — четная функция, то Р ( х )

— нечетная функция.

 

 

8 . П усть Рп (х) — многочлен степени п. При каком условии первообраз­

ная для функции

 

н а )

 

 

 

 

„ .

 

 

„„

 

 

------ у

+1 является рациональной ф ункцией:

 

 

ГЛАВА VII

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 34. Определение и условия существования определенного интеграла

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интег­ рала.

а) Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция / непрерыв­ на на отрезке А = [а, Ь] и неотрицательна, т. е. /(ж) ^ 0 при всех

ж Е А. Рассмотрим фигу­ РУ G (рис. 34.1), ограни­ ченную отрезками пря­ мых ж = а, х = Ъ, у = О и графиком функции у =

= f ( x ) , Т. е.

 

G = {{х,у):

 

 

а ^ х ^ b ,

О ^ у ^

f(x)}.

Такую

фигуру

назы­

вают криволинейной тра­ пецией, а отрезок А — ее основанием.

Разобьем отрезок А на п частей точками х\ (г = 1 ,п —1 ), где х\ < х^ < ... < х п- 2 < Жп-ъ и проведем через эти точки прямые, параллельные оси Оу. Тогда фигура G разобьется на п частей, каждая из которых является кри­ волинейной трапецией.

Обозначим Axi = xi Жг-ъ хо = а, хп = Ь, и пусть & Е Д«, где = [xi-i,Xi\, i = 1,п. Тогда сумма

O' = ^ r f ( Z i ) A x i ,

 

i—1

 

зависящая от разбиения отрезка Д и выбора точек

равна площади

ступенчатой фигуры (рис. 34.1), составленной из п прямоугольников, причем основанием г-го прямоугольника служит отрезок Д^, а длина его высоты равна /(&)• Интуитивно ясно, что эта ступенчатая фигура будет мало отличаться от исходной фигуры G при достаточно мелком разбиении.

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы наибольшая

§ 3 4 Определение и условия существования определенного интеграла 317

из длин отрезков Ai стремилась к нулю. Если при этом сумма а будет

иметь предел S, не зависящий ни от способа

 

дробления отрезка А, ни от выбора точек

 

 

то естественно считать, что площадь фигу­

 

ры G равна S. Существование этого предела

 

будет доказано в п. 6.

 

 

 

 

 

Пр и ме р 1. Найти площадь фигуры, огра­

 

ниченной параболой у = х 2 и отрезками пря­

 

мых х = а, где а > 0, и у = 0 (рис. 34.2).

 

 

 

Д Пользуясь тем, что предел суммы а для не­

 

прерывной

функции

/(ж)

= х 2

(см. п.

6)

не

 

зависит от

способа

дробления

отрезка

А

=

Рис> 34,2

= [0, а] и выбора точек

будем считать, что

отрезок А разбит на п отрезков равной длины, а в качестве точки ^

(г = 1, п) взят правый конец отрезка А^. Тогда ^ = ж* г, Аж* —,

п 3 п п п

a = J 2 x2i A x i

=

^ ^ 2 i2-

 

 

 

г=1

г=1

 

 

 

Так как

 

T I { TI + 1)(2п + 1)

(§ 3, пример

2, в)), то

Е

* 2 =

 

 

г = 1

 

 

 

 

 

 

откуда lim

а = —. Поэтому искомая площадь

 

 

п—>-оо

 

3

 

равна —. А

Заметим, что этот результат был получен еще Архимедом с по­ мощью предельного перехода. В § 36 будет дан простой способ нахож­ дения предела для сг, основанный на формуле Ньютона-Лейбница.

б) Работа переменной силы. Пусть материальная точка движется вдоль числовой прямой Ох под действием силы Р, причем направле­ ние действия силы совпадает с направлением движения материальной точки. Предположим, что сила Р задана как непрерывная функция от координаты х этой прямой, т. е. Р = Р(х).

Найдем работу силы Р при перемещении материальной точки от

х = а до х = Ь. Разобьем отрезок

[а, Ь], как и в задаче

о площади

криволинейной трапеции, точками

xi и выберем ^ G А*

(г = 1 ,п).

Тогда работа силы Р на отрезке

приближенно равна Р(^)Дж^, а

на отрезке [а, Ь] работу этой силы можно считать приближенно равной

п

сумме ^^P (£ i)A xi. Предел этой суммы (при тех же условиях, что и

2=1

в задаче о площади) естественно назвать работой переменной силы при перемещении материальной точки из точки а в точку Ь.

В рассмотренных задачах речь идет о нахождении предела сумм

п

вида f(£i)Axi, которые называют интегральными суммами. К вы-

2=1

318

Гл. VII. Определенный интеграл

числению предела таких сумм сводится решение многих важных за­ дач из геометрии, физики, техники и других дисциплин. Поэтому вопросы, связанные с обоснованием предельного перехода описанного типа, заслуживают всестороннего изучения.

2. Понятие определенного интеграла. Пусть функция одного переменного /(ж) определена на отрезке [а, Ь] и пусть ж* (г = 0, те) — совокупность точек этого отрезка таких, что

а = хо < xi < ... < Xi- 1 < Xi < ... < x n- i < x n = b.

Назовем эту совокупность точек разбиением отрезка [а,Ь], обозна­ чим разбиение Т = {ж*, i = 0, п}, а отрезки Д* = [ж,_1 ,ж,], где i = 1,п,

назовем отрезками разбиения Т.

Пусть Дж, = Xi Xi-i — длина г-го отрезка разбиения Т. Тогда

число l(T) = max Дж, назовем мелкостью разбиения Т (или диамет-

1 $Сг<Сп ром этого разбиения). Если £* € Д*, то совокупность точек £* (г = 1 , те)

назовем выборкой и обозначим £ =

{£*, г = 1 , те}.

 

Сумму

п

 

 

< М £ , / ) = О -Т ( £ ) = 5 1

f ( & ) A x i

( 1 )

 

г=1

 

 

назовем интегральной суммой для функции / при заданном разбие­ нии Т и фиксированной выборке £.

Опре де ление . Число J называется определенным интегралом

ь

от функции / на отрезке [а, Ь] и обозначается J /(ж) dx, если для

любого е > 0 существует такое число 8 = 8(e) > 0, что для любого разбиения Т, мелкость которого 1(Т) <8, и для любой выборки £ вы­ полняется неравенство

IY I f ( & A xi - J < е. i= 1

С помощью символов это определение можно записать так:

 

 

ь

 

 

 

j j =

j f ( x ) dx}

Ve > 0 35(e) > 0: VT: l(T)

< 5(e) V£

 

 

 

^ M

£ , / ) - J | < e .

(2)

Часто утверждение (2) кратко записывают в виде <тт(£) —^ J

при

l(T)

—1 0 или lim

<тт(£) = J , имея в виду, что предел не зависит от

выборки £.

Если существует число J, определяемое условиями (2), то функ­ цию / называют интегрируемой (по Риману) на отрезке [а, Ь] и гово­ рят, что существует интеграл от функции / на отрезке [а,Ь].

§34■ Определение и условия сущ ествования определенного интеграла 319

3. Необходимое условие интегрируемости функции.

Т е о р е м а 1. Если функция /(ж ) интегрируема на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке.

О Пусть функция / интегрируема на отрезке [а, Ь]. Тогда существует

число J, удовлетворяющее условию (2). Полагая в (2) е

= 1, получаем

неравенство

 

J - l < a T & f ) < J + 1,

(3)

которое должно выполняться для любого разбиения Т такого, что l(T) < Si = 5(1), и при любой выборке £.

Зафиксируем разбиение Т, удовлетворяющее условию l(T) < Si, и предположим, что функция / не ограничена на отрезке [а,Ь]. Тогда она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков Д* разбие­ ния Т. Без ограничения общности можно считать, что функция / не ограничена на отрезке Ai = [xo,Xi] = [a,Xi],

Фиксируем точки £2, •••,£«> гДе £* € A*, i = 2, те, и обозначим А =

П

= ^2 /(£г)Дж,. Тогда ат = А + /(£ i)Axi и в силу (3) получаем нера-

*=2

венства

J ^ 1 < / (а)Дж! + Л < J + 1 ,

(4)

которые должны выполняться для любого (1 t Л |.

Так как Д.Г| > 0, то двойное неравенство (4) равносильно нера­ венству

из которого следует, что функция / ограничена на Ai, что противо­ речит предположению о неограниченности функции / на отрезке Ai.

Итак, предположение о неограниченности / на [а, Ь] приводит к противоречию. Теорема доказана. •

З а м е ч а н и е 1. О граниченность функции не является достаточны м условием ее интегрируем ости. Т ак, ф ункция Дирихле

c < * > = { J : I I J ;

не интегрируем а на отрезке [0, 1 ], хотя и ограничена.

О Действительно, если выборки £ и £' состоят соответственно из рацио­ нальных и иррациональных точек, то а т(£ ) = 1 , а от Ц' ) = 0 для любого разбиения Т отрезка [0,1]. П оэтому не сущ ествует предела интегральны х сум м при 1 ( Т ) —¥ 0. •

4. Суммы Дарбу и их свойства. Пусть функция /, определен­ ная на отрезке [а, Ь], ограничена на этом отрезке и пусть Т = {ж ,, i = = о,те} — разбиение отрезка [а,Ь], А, = [ж,_1 ,ж,], Аж, = ж, —ж*_1