
Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015
.pdf310 Гл. VI. Неопределенный интеграл
При нахождении интеграла (14), где Рп (х) — многочлен степени те, удобно использовать формулу
Рп(х) |
dx = С/(х)л/ах2 + Ъх + с + AJ |
dx |
(17) |
|
/ л/ах2 + Ьх + с |
л/ах2 + Ьх + с |
|||
|
|
В этой формуле Q(x) — многочлен степени не выше те —1, Л — не которое число. Дифференцируя тождество (17) и умножая затем обе
части получаемого соотношения на 2\/ах1 Ъх + с, находим |
|
2Рп(х) = 2Q'(x)(ax2 + Ъх + с) + Q(x)(2ax + b) + 2А. |
(18) |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в тож дестве (18), вычислим коэффициенты многочлена Q(x) и число А. Заметим, что интеграл в правой части формулы (17) сводится к таб
личному с помощью линейной подстановки. |
|
|||||||
Пр и м е р |
6. Найти J = J - |
х ^х |
|
|
||||
|
|
|
|
|
л/х2 + X + 1 |
|
|
|
А Воспользуемся |
формулой |
|
(18), где Рп(х) = ж2 , Q(x) = Ах + В. |
|||||
Получим тождество |
2х2 = 2А(х2 + х + 1) Ч (Ах + В)( 2х + 1) + 2А, |
|||||||
откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|||
|
2 = 2А + 2А, |
0 = 2А + А + 2В, |
0 = 2А + В + 2А. |
|
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = Ь |
B = - V |
Г |
|
||
Так как |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Г |
dx |
_ |
Г |
dt х -I— |
|
|
|
|
|
2 |
= ln ( X |
x |
С, |
||||
J |
л / х 2 + X + 1 |
J |
|
|
||||
Х + -1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
f |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J = (J^x - |
^ л/х2 + х +1 - |
i In (ж + i |
+ л/х2 + х+ 1 ^ + С. |
▲ |
Рассмотрим интеграл (15). Подстановкой
t = - L -
X
этот интеграл сводится к интегралу (14).
Обратимся, наконец, к интегралу (16). Если существует число ш такое, что для всех ж G R выполняется равенство ах2 + Ъх + с = ш(ж2+ + рх + q), т. е. Ъ= ар, с = aq, то интеграл (16) можно представить в виде линейной комбинации интегралов
|
(2ж + р) dx |
dx |
Л = |
ж2 +рх + q)k+1/2 |
•h = I'x 2 + p x + q)k+1/ 2 |
§33. Интегрирование функций |
311 |
Интеграл Jp сводится к табличному, а интеграл J2 подстановкой Абеля
и = (л/х2 + рх + q)' = — 2.x+р _ |
(19) |
2у/ х2 + рх + q |
|
сводится к интегралу от многочлена. |
|
Если Ъф ар, то используется подстановка |
|
at + /3 |
„ч |
1 = т г т ■ |
(20) |
где числа а и (3 подбираются такими, чтобы коэффициенты |
при t |
в квадратных трехчленах подынтегральной функцииобратились в нуль. При этом интеграл (16) примет вид
P(t)dt
/ (t2 + X)k^/pt2 + v
где P(t) — многочлен степени 2k —1, Л > 0.
Заметим, что если Ъ= ар, но сф aq (случай Ъ= ар, с = aq рассмот рен выше), то вместо подстановки (20) можно применить подстановку
^ |
Р |
X = t - |
|
Чтобы вычислить интеграл (21), разложим правильную рацио нальную дробь на простые дроби и представим интеграл (2 1) в виде линейной комбинации интегралов вида
тi |
= |
f |
i(tt |
, |
и J |
тн |
= |
f |
dt |
, |
, |
.. |
J |
J |
|
|
J |
|
где toGA/. |
||||||
|
|
(t2 + X)mл/pt2 + a |
|
|
|
(t2 + X)m^Jpt2 + v |
|
|
Интеграл J ' вычисляется с помощью подстановки те2 = p,t2 + v, а ин
теграл J" — с помощью подстановки Абеля v = —. ^ |
. |
y/p.f- + v |
|
в) Интеграл вида |
(22) |
'x m(axn + b)p dx, |
|
h |
|
где 5 — действительные, то, те, р — рациональные числа, причем
а ф 0, Ъф 0, п ф 0, р ф 0, называют интегралом от дифференциального бинома. Интеграл (22) сводится к интегралу от рациональной функ ции в следующих трех случаях ([2]):
i'i |
г |
-7 |
Z; |
r A m |
+ l , - - 7 |
w f l , ^ - 7 |
1) |
р |
G |
2) |
------ G Z; |
3 ) --------- 1- р б Z. |
|
|
|
|
|
|
п |
п |
В первом случае применяется подстановка х = tq, где q — общий знаменатель дробей то и те, во втором и третьем случаях — соот ветственно подстановки
axn + b = ts и a + b x ^ n = ts,
где s — знаменатель дроби р.
§33. Интегрирование функций |
313 |
За ме ч а н и е 5. Подстановка (24), которую называют универсальной, часто приводит к громоздким вычислениям интеграла (23). Поэтому ее ис пользуют лишь в тех случаях, когда не видно других путей к вычислению интеграла (23).
Если подынтегральная функция R удовлетворяет одному из условий:
а) R (—sin ж, cos ж) = —jF2(sin ж, cos ж), б) R (sin ж, ^ cos ж) = —jF2(sinж, cos ж), в) Д(—sinx, —cosx) = i?(sinx, cosx),
то для нахождения интеграла (23) можно использовать соответствен
но подстановки t = cosx, х £ (0, 7г); t = sinх, х £ ^ |
- t = tgx, |
|||
X £ |
( |
, |
г, |
|
I —- , - |
I, или t = cos lx. |
|
||
|
В приложениях часто встречаются интегралы вида |
|
||
|
|
sin™ ж cos” ж dx, то £ Z, те £ Z. |
(26) |
|
|
|
/■ |
|
|
|
При вычислении интеграла вида (26) можно руководствоваться |
|||||||||||||||
следующими правилами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) если то + те — четное число, то применяется либо подстановка |
|||||||||||||||
t = tgx, либо подстановка t = cos2x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
б) |
если |
то + те |
— |
нечетное |
число, |
то |
используют |
подстановку |
|||||||
t = sin ж или t = cosx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пр и м е р 9. Найти интеграл вида (26) в следующих случаях: |
|
||||||||||||||
|
а) то = |
0, те = ^ 6; |
б) то = 3, те = |
4; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) то = |
2, те = 4; |
|
г) то = —1, те = |
—3. |
|
|
|
|
|
|
|||||
А |
а) |
Воспользуемся |
подстановкой |
t |
= tgx. |
Так как |
'G, |
|
= |
dt, |
||||||
|
|
= 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f (1 |
|
cos2х |
|
|
|
— |
|
+ t g 2x = |
+ t2, |
то |
f |
|
= |
+ t2)2dt |
= t + l t 3 + |
|||||||
COS; ж |
|
|
|
|
|
|
J COS0 ж |
|
J |
|
|
|
3 |
|
||
+ ^~ + С = t g x f l |
+ |
|t g 2x + |
^-tg4x') + C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5 |
|
4 |
|
3 |
|
5 |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) J sin3 ж cos4 ж dx = J (cos2 x —1 ) cos4xd(cosx) = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ c o s ' ж |
c o s 0 ж |
n |
||
|
в) |
Воспользовавшись формулами |
sin ж cos ж = -sin2x, |
cos2 ж = |
||||||||||||
= |
i ( l + cos2x), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J sin2 ж cos4xd x = ^ J sin2 2x(l |
+ cos 2x) dx = |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= ^ J |
(1 —cos4x) dx + |
|
sin2 2xd(sin 2x) = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
I |
s |
2ж + |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= — ж —— sin 4x + — sin |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
64 |
48 |
|
|
|
Упражнения к главе V I |
315 |
интегралам относятся, например, следующие встречающиеся в приложениях интегралы:
а) J е^х |
dx — интеграл Пуассона; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) J sin х2 dx и J cos х2 dx — интегралы Френеля; |
|
|
|
||||||||||||||
\ |
f |
|
d x |
|
|
|
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
j |
интегральный логарифм; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ч |
f sin х |
7 |
|
интегральный синус; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
J |
|
х |
dx — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ч |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f cosx |
|
интегральный косинус. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
J |
|
х |
ах — |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
УПРАЖ НЕНИЯ К ГЛАВЕ VI |
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Д оказать, |
что ф ункция /( * ) = sig n * не им еет ни одной первообраз |
||||||||||||||||
ной на R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. П ривести пример разрывной функции, имеющ ей первообразную на R. |
|||||||||||||||||
3. Н айти все первообразные функций х\х\ и е)х ^ на R. |
|
|
|
||||||||||||||
4 . Пусть |
Рп (х) |
— многочлен степени п |
и а |
ф |
0. |
Д оказать формулу |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Рп (х)еах dx = -— |
( _ i ) 4 £ y y l |
+ |
С. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
J |
|
a |
L |
|
|
|
9 |
, |
, |
, |
|
|
ег |
т т |
|
|
|
|
|
|
к =0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
aix |
“Н |
О \ Х |
“I С \ |
. |
U, |
|||
5. При каком условии первообразная функции |
а х - |
------------, где a f |
|
||||||||||||||
Ь~ ф 4ас, является рациональной функцией? |
|
+ Ьх + с |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 . Д оказать, |
что для |
интеграла |
J n,m |
= |
j sin" * cos™ * dx, где n € |
|
А/, |
||||||||||
m € N, справедлива рекуррентная формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
т |
_ |
sin"-1 *cosTO+1 ж |
, |
n —1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J n , m — |
n + rn |
|
"Г n + rn J n — 2 ,m * |
|
|
|
||||||
7. |
П усть |
F(x) — первообразная для функции f(x) на всей числовой |
|||||||||||||||
прямой. Д оказать или опровергнуть следую щ ие утверж дения: |
|
|
|||||||||||||||
а) |
если /( * ) |
— |
периодическая функция, |
то и |
Р ( х ) |
— |
периодическая |
||||||||||
функция; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) /( * ) — нечетная функция, то Р ( х ) |
— четная функция; |
|
|
||||||||||||||
в) если /( * ) — четная функция, то Р ( х ) |
— нечетная функция. |
|
|
||||||||||||||
8 . П усть Рп (х) — многочлен степени п. При каком условии первообраз |
|||||||||||||||||
ная для функции |
|
н а ) |
|
|
|
|
„ . |
|
|
„„ |
|
|
|||||
------ у |
+1 является рациональной ф ункцией: |
|
|
ГЛАВА VII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 34. Определение и условия существования определенного интеграла
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интег рала.
а) Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция / непрерыв на на отрезке А = [а, Ь] и неотрицательна, т. е. /(ж) ^ 0 при всех
ж Е А. Рассмотрим фигу РУ G (рис. 34.1), ограни ченную отрезками пря мых ж = а, х = Ъ, у = О и графиком функции у =
= f ( x ) , Т. е. |
|
|
G = {{х,у): |
|
|
а ^ х ^ b , |
О ^ у ^ |
f(x)}. |
Такую |
фигуру |
назы |
вают криволинейной тра пецией, а отрезок А — ее основанием.
Разобьем отрезок А на п частей точками х\ (г = 1 ,п —1 ), где х\ < х^ < ... < х п- 2 < Жп-ъ и проведем через эти точки прямые, параллельные оси Оу. Тогда фигура G разобьется на п частей, каждая из которых является кри волинейной трапецией.
Обозначим Axi = xi —Жг-ъ хо = а, хп = Ь, и пусть & Е Д«, где = [xi-i,Xi\, i = 1,п. Тогда сумма
O' = ^ r f ( Z i ) A x i , |
|
i—1 |
|
зависящая от разбиения отрезка Д и выбора точек |
равна площади |
ступенчатой фигуры (рис. 34.1), составленной из п прямоугольников, причем основанием г-го прямоугольника служит отрезок Д^, а длина его высоты равна /(&)• Интуитивно ясно, что эта ступенчатая фигура будет мало отличаться от исходной фигуры G при достаточно мелком разбиении.
Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы наибольшая
318 |
Гл. VII. Определенный интеграл |
числению предела таких сумм сводится решение многих важных за дач из геометрии, физики, техники и других дисциплин. Поэтому вопросы, связанные с обоснованием предельного перехода описанного типа, заслуживают всестороннего изучения.
2. Понятие определенного интеграла. Пусть функция одного переменного /(ж) определена на отрезке [а, Ь] и пусть ж* (г = 0, те) — совокупность точек этого отрезка таких, что
а = хо < xi < ... < Xi- 1 < Xi < ... < x n- i < x n = b.
Назовем эту совокупность точек разбиением отрезка [а,Ь], обозна чим разбиение Т = {ж*, i = 0, п}, а отрезки Д* = [ж,_1 ,ж,], где i = 1,п,
назовем отрезками разбиения Т.
Пусть Дж, = Xi —Xi-i — длина г-го отрезка разбиения Т. Тогда
число l(T) = max Дж, назовем мелкостью разбиения Т (или диамет-
1 $Сг<Сп ром этого разбиения). Если £* € Д*, то совокупность точек £* (г = 1 , те)
назовем выборкой и обозначим £ = |
{£*, г = 1 , те}. |
|
|
Сумму |
п |
|
|
< М £ , / ) = О -Т ( £ ) = 5 1 |
f ( & ) A x i |
( 1 ) |
|
|
г=1 |
|
|
назовем интегральной суммой для функции / при заданном разбие нии Т и фиксированной выборке £.
Опре де ление . Число J называется определенным интегралом
ь
от функции / на отрезке [а, Ь] и обозначается J /(ж) dx, если для
любого е > 0 существует такое число 8 = 8(e) > 0, что для любого разбиения Т, мелкость которого 1(Т) <8, и для любой выборки £ вы полняется неравенство
IY I f ( & A xi - J < е. i= 1
С помощью символов это определение можно записать так: |
|
|||
|
ь |
|
|
|
j j = |
j f ( x ) dx} |
Ve > 0 35(e) > 0: VT: l(T) |
< 5(e) V£ |
|
|
|
^ M |
£ , / ) - J | < e . |
(2) |
Часто утверждение (2) кратко записывают в виде <тт(£) —^ J |
при |
|||
l(T) |
—1 0 или lim |
<тт(£) = J , имея в виду, что предел не зависит от |
выборки £.
Если существует число J, определяемое условиями (2), то функ цию / называют интегрируемой (по Риману) на отрезке [а, Ь] и гово рят, что существует интеграл от функции / на отрезке [а,Ь].