§ 7. Напруга

Поряд з поняттям деформації одним з основних понять опору матеріалів є напруга. Напруга характеризує інтенсивність внутрішніх сил, які діють у перерізі.

В будь-якому перерізі тіла (рис. 7, а) на кожну елементарну площадку ΔА діє елементарна сила ΔF. Відношення величин сили ΔF до величини елементарної площадки ΔА виражає внутрішню силу, що віднесена до одиниці площі перерізу, яка називається середньою напругою на цій площадці, тобто:

Якщо взяти границю цього відношення при зменшенні площадки ΔА до нуля, то отримаємо напругу в даній точці перерізу, тобто:

Для випадку рівномірного розподілу внутрішніх сил по перерізу напругу можна знайти діленням внутрішньої сили (силового фактору) на всю площу перерізу, тобто

(1)

Таким чином, напругою в будь-якій точці перерізу називається величина внутрішньої сили, що приходиться на одиницю площі перерізу. Тобто одиницею виміру напруги буде . Напруга, як і сила, має напрям, тобто вона є векторною величиною.

Треба мати на увазі, що через будь-яку точку тіла можна провести безліч перерізів, по-різному розміщених в просторі, при цьому напруги, що виникли в них можуть бути різними. Тому, говорячи про напругу в даній точці, необхідно завжди вказувати площадку (переріз), по якій вона діє.

В загальному випадку напруга р складає з площадкою, що розглядається, деякий кут α (рис. 7, б).

Якщо розкласти напругу р по нормалі (перпендикуляру) до площадки ΔА і по напрямку перерізу, то отримаємо нормальну напругу, що діє перпендикулярно до даного перерізу, та дотичну напругу, що діє в площині перерізу. Напруга р називається повною напругою в даній точці. Нормальна напруга позначається грецькою буквою σ (сігма); дотична – грецькою буквою τ (тау). Як видно з рисунка 7, б величини цих напруг будуть:

,

Рис. 7

Знаючи складові величини, можна знайти повну напругу:

(2)

Нормальні напруги при розтязі як сили, що чинять опір, прагнуть перешкодити віддаленню часток твердого тіла одна від одної, а в разі стиску – наближенню їх. Дотичні напруги також є силами опору та перешкоджають зсуву однієї частки твердого тіла відносно іншої.

Питання для самоконтролю

1. Які цілі та завдання науки про опір матеріалів?

2. Що вивчає наука про опір матеріалів?

3. Що називається деформацією тіла?

4. Що таке пружність тіла?

5. Яка деформація називається пружною та пластичною?

6. Які основні вимоги ставляться до будівель, споруд, машин та механізмів?

7. Які основні припущення прийняті в опорі матеріалів?

8. Які внутрішні сили можуть виникнути в поперечному перерізі бруса?

9. Які основні деформації можуть виникнути під дією зовнішніх сил?

10. В чому суть методу перерізів?

11. Що називається напругою та в яких одиницях вона вимірюється?

12. Які напруги називаються нормальними та дотичними?

Розділ іі. Осьовий розтяг та стиск

§8. Внутрішні сили при розтязі та стиску. Нормальна напруга в поперечному перерізі бруса. Принцип сен-венана

Розглянемо перший із чотирьох видів простих деформацій – деформацію розтягу та стиску. Якщо зовнішні сили або їх рівнодіюча прикладені до осі бруса, то має місце деформація осьового розтягу або стиску. В подальшому будемо просто називати розтяг та стиск. Якщо зовнішні сили, що діють на брус, прикладені не по осі бруса, то деформація називається позацентровий розтяг або стиск. Це складний вид деформації, який ми розглянемо нижче.

На розтяг та стиск працює багато будівельних конструкцій та їх елементів. Наприклад, колони, фундаменти, стальні канати баштових кранів, стержні кроквяних ферм та інші.

Розглянемо детальніше цей вид деформації на простих прикладах.

Прикладаємо до кінців бруса постійного поперечного перерізу по його осі дві сили, рівні за величиною та протилежні за напрямом (рис. 8, а). Очевидно, ці сили викличуть деформацію розтягу бруса, а якщо б вони діяли в протилежних напрямах, то викликали б деформацію стиску. Так як при розтязі довжина бруса збільшується, а при стискові зменшується, то його укорочення будемо розглядати як від’ємне видовження. Це дасть нам можливість вивчати спільно розтяг та стиск і, отже всі висновки, отримані для розтягу, застосовувати і до деформації стиску. Власну вагу бруса враховувати поки не будемо.

Для визначення внутрішніх сил в поперечних перерізах бруса застосуємо метод перерізів (див. § 6 ).

Перерізом 1-1 уявно розсікаємо брус на дві частини і одну із них, наприклад праву, відкинемо (рис. 8,б). Дію відкинутої частини замінемо внутрішніми силами пружності, які в даному випадку будуть нормальними (перпендикулярними) до перерізу, так як права частина бруса при розтязі намагається відірватись від лівої вздовж осі бруса. Рівнодіюча цих внутрішніх сил буде направлена по осі бруса протилежно силі F (із умови рівноваги двох сил ) і дорівнює їй, тобто N=F. Рівнодіюча внутрішніх сил пружності в поперечному перерізі бруса при розтязі та стискові називається поздовжньою силою та позначається N.

Рис. 8

Розглянемо більш загальний випадок роботи бруса на розтяг та стиск (рис. 8, в, г). Знайдемо поздовжню силу в довільному перерізі 2-2. Відкидаємо ліву відсічену частину, дію відкинутої частини замінюємо внутрішньою силою N. Так як ми не знаємо куди буде направлена сила N, направляти її будемо завжди від перерізу залишеної частини. Домовимося цей напрямок вважати як додатній що відповідає розтягу, в протилежному випадку – відємний, що відповідає стискові.

Розглянемо рівновагу залишеної частини: Хі = 0 маємо :

-N-F₃+F₁+F₂cos+F₂cos=0, звідси

=-F₃+F₁+F₂cos+F₂cos, тобто

поздовжня сила в довільному перерізі бруса дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від перерізу на вісь бруса.

Поздовжню силу в довільному перерізі бруса будемо визначати за цим правилом. Знак поздовжньої сили будемо визначати за таким правилом: якщо зовнішня сила, що діє на відсічену частину бруса направлена від перерізу, то знак повздовжньої сили буде додатним, якщо до перерізу – від'ємним. Тобто F₃ направлена до перерізу тому вона з мінусом, а F₁ – від перерізу – тому вона з плюсом і т.д. (рис. 8, г).

Ми сказали, що в перерізі 1-1 внутрішні сили направлені вздовж осі бруса (рис. 8, б). А як розподілені ці сили по перерізу? Рівномірно чи ні? Закон розподілення внутрішніх сил по перерізу встановлюється на основі гіпотези плоских перерізів – гіпотези Я. Бернуллі (§5).

Якщо уявити, що брус складається із поздовжніх волокон, то на основі цієї гіпотези можемо зробити висновок, що волокна не тільки на поверхні бруса видовжуються на одну й ту саму величину, але і всередині бруса, тобто поздовжні деформації всіх волокон однакові. Це дає можливість зробити висновок, що внутрішні сили, що діють в кожній точці перерізу, однакові, тобто розподілені рівномірно, якщо вони розтягують волокна на однакову довжину.

Рівномірність розподілення внутрішніх сил дозволяє зробити висновок, що і напруги в перерізі розподілені рівномірно, тобто

(3)

Наведені докази про рівномірне розподілення нормальних напруг по поперечному перерізу бруса проводились в припущенні, що зовнішнє навантаження, прикладене до кінця бруса, розподілене рівномірно. Розглянемо інші способи прикладання зовнішніх сил до кінців бруса, наприклад, у вигляді зосередженої сили або декількох зосереджених сил.

В цих випадках прикладання зовнішніх сил гіпотеза плоских перерізів біля місця прикладання цих сил недійсна. В місцях прикладання зосередженої сили переріз викривлюється, що призводить до появи великих місцевих напруг і деформацій. Але на деякій відстані, що приблизно дорівнює лінійному розміру поперечного перерізу, від місця прикладення зосередженої сили розподіл нормальних напруг по перерізу вирівнюється, наближаючись до рівномірного.

Швидке зменшення місцевих напруг при віддалені від місця прикладання зосереджених сил було досліджено Сен-Венаном та названо його ім’ям. Згідно з принципом Сен-Венана: в перерізах, досить віддалених від місця прикладання зовнішніх сил, напруги не залежать від способу прикладання цих сил, а визначаються тільки їх рівнодіючою.

Вивчення закону розподілення напруг в місцях прикладання зовнішніх навантажень складають особливу задачу, що вивчається в курсі теорії пружності. Місцеві напруги виникають також в місцях стрибкоподібної зміни поперечних розмірів перерізу бруса – в ступінчастому брусі або в брусі з отвором. Про це в §15 даного розділу.

Дотичні напруги в будь-якій точці перерізів 1-1 та 2-2, очевидно, будуть дорівнювати нулю, так як внутрішніх сил, що лежать в перерізі, немає. Всі внутрішні сили приводяться до однієї поздовжньої сили N.

Якщо на брус діє декілька зовнішніх сил, прикладених в різних точках по його осі, корисно будувати графіки, що називаються епюрами поздовжніх сил та нормальних напруг. Вони дають наочне уявлення про зміну величини поздовжніх сил та нормальних напруг в поперечному перерізі по довжині бруса.

Наведемо приклад побудови епюр N та .

Приклад 1. Для прямого бруса, що знаходиться під дією сил F₁, F₂ (рис. 9), побудувати епюри поздовжніх сил N та нормальних напруг . Прийняти F₁=150 кН, F₂= 200 кН, інші дані вказані на рисунку.

Розв'язок. Розбиваємо брус на окремі ділянки, границями яких є точки прикладання сил та місця зміни перерізу. Тобто брус має три ділянки навантаження, що позначені цифрами 1,2,3 (рис. 9, а).

Рис. 9

Для визначення значень поздовжніх сил застосуємо метод перерізів. Проведемо переріз 1-1 та відкинемо нижню частину бруса (рис. 9, б). Дію відкинутої частини замінимо поздовжньою силою ₁.

Якщо ми будемо відкидати нижню частину бруса, де знаходиться жорстка опора, то реакції опори можемо не знаходити, так як їх все одно будемо відкидати.

Знаходимо поздовжню силу N₁ в перерізі 1-1.

N₁=F₁=150 kH

Поздовжня сила в перерізі 1-1 буде дотатна, так як сила F₁ направлена від перерізу 1-1.

Очевидно, що таке значення поздовжньої сили буде в любому перерізі аж до перерізу, в якому прикладена сила F₂, тобто в перерізі 2-2 (рис. 9, в)

N₂=F₁150кН.

На третій ділянці робимо переріз 3-3, відкидаємо нижню частину, та замінюємо її поздовжньою силою N₃ (рис. 9, г)

N₃=F₁-F₂=150-200=-50 kH.

Тепер знайдемо величини нормальних напруг в перерізах кожної ділянки бруса за формулою

 =

На першій ділянці

₁= =12,5 кН/см²=125 МПа.

На другій ділянці

₂= =8,33 kH/cм² = 83,3 MПа.

На третій ділянці

₃= =-2,78 кH/cм²=-27,8 MПa

₁ та ₂ напруги розтягу, ₃ – нормальні напруги стиску.

Для побудови епюр поздовжніх сил та нормальних напруг (рис. 9 д, е) проведемо осі, паралельні осі бруса, та відкладемо значення N та  в довільному масштабі по перпендикулярах до вибраних осей. Додатні значення  та  відкладаємо по одну сторону осі (наприклад, зліва), а від'ємні – по іншу.

Побудована епюра штрихується перпендикулярно до осі бруса. Кожна лінія штриховки – це величини N та  в прийнятому масштабі.

Можна знаходити величини N та  і будувати їх епюри, починаючи з нижньої ділянки бруса, але спочатку треба визначити реакції опори.