§58. Формула Ейлера. Вплив кінцевих закріплень на величину критичної сили.

Встановивши поняття про критичну силу як про, "руйнівне" навантаження, що виводить стержень із стану його нормальної роботи, ми можемо скласти умову для перевірки на стійкість, аналогічну умову міцності.

Критична сила викликає в стиснутому стержні напругу, що називається "критичною напругою та позначається буквою . Критична напруга є небезпечною напругою для стиснутого стержня.

Для знаходження критичної напруги потрібно визначити критичну силу Fк, тобто найменше осьове навантаження, що здатне втримати в рівновазі трохи викривлений стиснутий стержень .

Це завдання вперше розв’язав академік Петербурзької академії наук Л. Ейлер в 1744 році.

Зазначимо, що постановка задачі інша, ніж у всіх раніш розглянутих розділах курсу. Якщо раніше ми визначали деформацію при заданих зовнішніх навантаженнях, то тут ставиться протилежне завдання: задивитись викривленням осі стиснутого стержня, потрібно визначити, при якому значенні осьової сили F таке викривлення можливе.

Розглянемо прямий стержень постійного перерізу, що шарнірно спирається своїми кінцями; одна із опор допускає можливість поздовжнього переміщення кінця стержня (рис. 114). Власною вагою стержня нехтуємо.

Рис114

Завантажимо стержень поздовжньою центрально стискуючою силою F=F_к і дамо йому досить мале викривлення в площині найменшої жорсткості; стержень утримується у викривленому стані, що можливо, так як F=F_к.

Передбачаємо, що вигин стержня досить невеликий, тому для розв’язування поставленої задачі можна скористатися наближеним диференційним рівнянням зігнутої осі стержня. Вибравши початок координат в точці А, а напрям координатних осей, як показано на рис. 114, маємо

Візьмемо переріз на відстані z від початку координат; ордината зігнутої осі в цьому перерізі буде у, а згинальний момент дорівнює .

За схемою, зображеною на рис. 114, згинальний момент виходить від’ємним, а ординати при вибраному напрямку осі у виявляються додатними. (Якби стержень вигнувся випуклістю вниз, то момент був би додатній, а у — від’ємним) .

Наведене диференційне рівняння приймає вигляд:

(135)

поділивши обидві частини рівняння на ЕІ та позначивши дріб через k², приведемо його до виду:

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд:

у=а sin kz + в cos kz (136)

Цей розв’язок містить в собі три невідомих: постійні інтегрування а і b, а також так як величина критичної сили нам невідома.

Умови на кінцях стержня дають два рівняння:

в точці А при z =0 прогин у = 0

в точці В при z =l прогин у = 0

Із першої умови виходить (так як sin kz=0 і cos kz=1)

0 = b.

Таким чином, зігнута вісь є синусоїдою з рівнянням

у=а sin kz. (137)

Застосувавши другу умову, підставимо в це рівняння у = 0 і z = l; маємо

0 = а sin kl (138)

Звідси виходить, що або а, або kl дорівнює нулю. Якщо а дорівнює нулю, то із рівняння (137) випливає, що прогин в любому перерізі стержня дорівнює нулю, тобто стержень залишається прямолінійним. Це суперечить вихідній передумові нашого висновку. Отже, sin kl = 0, а величина kl може мати, слідуючий нескінченний ряд значень:

kl = 0, , 2 ,3n,.....,n ;

де n- будь-яке число.

З відси, , а так як , то

і (139)

Інакше кажучи, навантаження, що здатне утримати злегка викривлений стержень в рівновазі, теоретично може мати цілий ряд значень. Але так як знаходиться, та представляє інтерес з практичної точки зору, найменше значення осьової стискуючої сили, при якій стає можливим поздовжній згин, то потрібно приймати n=n_min.

Перший корінь n = 0 вимагає, щоб F_к дорівнювала нулю, що не відповідає вихідним даним задачі; тому цей корінь повинен бути відкинутим та найменшим коренем приймається значення n = 1

Тоді отримаємо:

F_к= (140)

(тут І — менший момент інерції поперечного перерізу стержня)

Отриманий вираз називається формулою Ейлера для стисненого стержня з шарнірно закріпленими кінцями .

Для інших способів закріплення кінців стержня формула зміниться . Випадок закріплення стиснутого стержня з шарнірно закріпленими кінцями будемо вважати першим (основним) випадком закріплення. Інші випадки закріплення будемо приводити до основного випадку. Формула Ейлера для стержня з любим закріпленням кінців має вигляд

F_к= (141)

В цій формулі коефіцієнт називається коефіцієнтом приведення довжини, який залежить від способу закріплення кінців стержня .

Всі можливі випадки закріплення кінців стержня, що зустрічається в будівельних конструкціях, можна привести до чотирьох видів (рис. 115).

Рис.115

Тобто при шарнірному закріпленні кінців (основний випадок) = 1;

при одному вільному і другому жорстко закріпленому кінцях = 2;

при одному жорстко закріпленому і другому шарнірному кінцях ≈ 0,7;

при обох жорстко закріплених кінцях = 0,5.

Величина добутку коефіцієнта приведення довжини на дійсну довжину стержня l називається приведеною, або розрахунковою довжиною стержня та позначається l_розр, тобто l_розр= l.

Таким чином, формулу (141) можна представити у вигляді

F_к= (141^/)

та нею можна користуватися для визначення величини критичної сили для всіх випадків закріплення кінців стержня

Поняття про приведену довжину стержня ввів у 1892р. професор Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення Ф.С. Ясінський.