§35. Залежності між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження (теорема д. І. Журавського)

Розглянемо балку, що завантажена довільним навантаженням (рис. 65, а). Зробимо переріз на відстані z від лівої опори та відкинемо ліву частину. Дію відкинутої частини замінимо внутрішніми силами - поперечною силою Q та згинальним моментом М. Другий переріз зробимо нескінченно близько від першого перерізу на відстані dz та відкинемо праву частину балки. Дію відкинутої частини замінемо внутрішніми силами Q₁ та М₁.

Рис. 65

Таким чином, ми вирізали елемент балки довжиною dz, який знаходиться в рівновазі під дією внутрішніх та зовнішніх сил. Покажемо його у збільшеному вигляді (рис. 65, б). Поперечна сила Q₁ та згинальний момент М₁ мало відрізняються від Q та М, так як перерізи знаходяться нескінченно близько один від одного, тобто на величину малих приростів dQ та dМ і складають

Q₁ = Q + dQ; М₁ = М + dМ.

Складемо рівняння рівноваги:

У_і = 0; Q - qdz – Q₁ = 0 або Q - qdz – (Q + dQ) = 0

звідси dQ = -qdz або

= -q, (76)

тобто перша похідна від поперечної сили по абсцисі z дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження із зворотним знаком.

Складаємо рівняння моментів всіх сил відносно центру ваги правого перерізу:

М = 0; М + Qdz - q dz - M₁ = 0

або

dM = Qdz - q .

В цьому рівнянні останній доданок є малою величиною вищого порядку відносно інших членів, тому ним можна знехтувати, тоді отримаємо:

dM = Qdz

звідси

= Q , (77)

тобто перша похідна від згинального моменту по абсцисі z дорівнює поперечній силі.

Формула (76) не застосовується для перерізів, в яких прикладені зосереджені сили, а формула (77) не застосовується для перерізів, де прикладені зосереджені моменти.

Із знайдених вище двох диференційних залежностей випливає третя:

(78)

тобто друга похідна від згинального моменту по абсцисі z дорівнює першій похідній від поперечної сили Q або дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження з протилежним знаком.

Формули (76)–(78) були отримані російським інженером Д. І. Журавським. Вони використовуються при аналізі питань, пов’язаних із згином балок, зокрема, для перевірки правильності побудови епюр згинальних моментів і поперечних сил.

§36. Побудова епюр поперечних сил та згинальних моментів для різних видів завантаження простих балок

Для наочного уявлення про закони міни поперечної сили та згинального моменту по довжині балки зручно зображати їх у вигляді графіків, ординати яких відповідають значенням Q або М в будь-якому її перерізі.

Побудову епюр виконують наступним чином. Лінію, пара­лельну осі балки, приймають за вісь абсцис, від якої в довільному масштабі відкладають ординати, що відповідають значенням Q або М, що діють в різних перерізах балки. З’єднуючи кінці відкладених ординат, отримують епюру Q або М.

Ординати додатних поперечних сил прийнято відкладати вверх від осі, а від’ємних – вниз. Ординати додатних згинальних моментів відкладають по-різному: вище або нижче осі, тобто епюру згинальних моментів М будують або зі сторони стиснених волокон балки, або зі сторони розтягнутих.

У будівельників прийнято зображати епюру згинальних моментів зі сторони розтягнутого волокна, так як це зручніше при використанні епюри в розрахунках та конструюванні елементів, що згинаються, деяких будівельних конструкцій.

Таким чином, додатні значення згинальних моментів ми будемо відкладати нижче осі епюри.

Штрихувати епюри Q і М потрібно тільки вертикальними лініями, так як кожна лінія штриховки в прийнятому масштабі виражає величину Q або М в даному перерізі.

Побудуємо епюри Q і М для балки, завантаженої силою F (рис. 66).

Знайдемо величини опорних реакцій V_A та V_B:

M_A = Fa – V_B l = 0, звідки V_B = ;

M_B = V_Al – F b = 0, звідки V_A = .

Горизонтальна складова реакції опори А дорівнює нулю, тому що в простих балках від вертикального навантаження виникають тільки вертикальні реакції.

Рис. 66

Будуємо епюру Q. Розглянемо ділянку АС балки. На цій ділянці зробимо довільний переріз на відстані z₁ від лівої опори. Відкидаємо праву частину балки, а те, що залишилося в лівій частині, проектуємо на вісь, перпендикулярну до осі балки, тобто на вісь у.

Зліва у нас залишилася тільки сила V_A, яка проектується на вісь у в натуральну величину зі знаком плюс (для лівої частини сила V_A направлена знизу вверх).

Ми бачимо, що поперечна сила в перерізі z₁ не залежить від z₁, тобто і на початку ділянки, в перерізі А, і в кінці її, в перерізі С, поперечна сила дорівнює . Це значить, що графіком поперечної сили на ділянці АС буде пряма лінія, паралельна осі епюри.

Під балкою, паралельно її осі, проведемо вісь епюри та відкладемо в довільному масштабі величину поперечної сили на ділянці АС вверх від осі епюри (рис. 66).

Для побудови епюри Q на другій ділянці балки робимо переріз на цій ділянці на відстані z₂ від лівої опори. Відкидаємо праву частину, а те, що залишилося в лівій частині, проектуємо на вісь у, маємо:

Якщо відкинути ліву частину, то поперечна сила буде дорівнювати:

Поперечна сила знову не залежить від Z₂, тому графіком поперечної сили на ділянці СВ також буде пряма, паралельна осі епюри. Значення поперечної сили відкладаємо нижче осі епюри (рис. 66).

Будуємо епюру М. Складемо вираз згинального моменту в перерізі Z₁ на ділянці АС. Відкидаючи праву частину, маємо:

Відносно перерізу z₁ сила V_A згинає ліву частину випуклістю вниз, значить згинальний момент буде додатним.

При цьому згинальний момент знаходиться в прямій залежності від z₁, це значить що графіком буде пряма лінія. Для побудови епюри М на ділянці АС досить визначити два значення згинального моменту – на початку ділянки та в кінці.

Тобто при z₁=0, маємо ;

при z₁=а

Відкладаємо ці значення у відповідних перерізах та будуємо графік на ділянці АС. Причому значення моменту в перерізі С відкладаємо нижче осі (рис. 66).

Для побудови правої частини епюри згинальних моментів можна розглядати ліву або праву частину балки. В даному випадку вираз згинального моменту в перерізі від правої частини буде простішим

Знак згинального моменту знову буде додатним, так як сила V_B згинає праву частину відносно перерізу випуклістю вниз.

Залежність моменту від z₂ знову пряма, тому графіком теж буде пряма лінія.

при z₂=a

при z₂=l

З’єднуємо відкладені значення прямою лінією. Як видно із епюри М, по всій довжині балки згинальний момент додатний і досягає найбільшого значення в точці С, тобто під силою F

Побудуємо епюри Q і M для балки, що завантажена рівномірно розподіленим навантаженням (рис. 67).

Знайдемо величини опорних реакцій. Виходячи із симетрії балки та навантаження, маємо

Горизонтальна реакція опори А відсутня.

Будуємо епюру Q. Робимо довільний переріз на відстані z₁ від лівої опори. Відкидаємо праву частину та знаходимо

V_A діє знизу вверх – буде зі знаком плюс, розподілене наванта­ження діє зверху вниз – буде зі знаком минус. Як бачимо, поперечна сила Q знаходиться в прямій залежності із z₁, це значить, що графіком поперечної сили буде пряма лінія. Знайдемо граничні значення.

При z₁=0 ;

при z₁=l

В перерізах А і В маємо однакові величини поперечної сили, але з різними знаками. Відкладаємо у довільному масштабі додатні значення вверх, а від’ємні – вниз та з’єднуємо прямою лінією (рис. 67).

Рис. 67

Будуємо епюру М. Складаємо вираз згинального моменту в перерізі z₁ для лівої частини балки. Праву відкидаємо.

Згинальний момент знаходиться в квадратній залежності від абсциси Z₁, тому окреслення опори моментів буде кривою лінією – квадратною параболою. Щоб побудувати її, візьмемо декілька перерізів, в яких визначимо величини згинальних моментів:

при Z₁=0

при Z₁=

при Z₁=

при Z₁=l

Найбільший згинальний момент буде в перерізі, що відповідає абсцисі Z₁, яка визначиться, якщо прирівняти нулю першу похідну від момента М по Z₁:

звідки

тобто найбільший згинальний момент виникає посередині прольоту балки

(79)

Як ми бачимо, в цьому перерізі поперечна сила дорівнює нулю. Формулу (79) потрібно запам’ятати.

Побудуємо епюри Q и M для балки, що завантажена зосередженою парою сил з моментом т (рис. 68)

Визначимо опорні реакції V_A i V_B;

m–V_Bl=0; ;

–V_Al+m=0; ;

Горизонтальна реакція опори А відсутня. Ми бачимо, що реакції також складають пару сил, які зрівноважують прикладену до балки пару з моментом т.

Будуємо епюру Q. Зробивши переріз в будь-якому місці балки та відкинувши, наприклад, праву частину ми бачимо, що поперечна сила дорівнює лівій опорній реакції зі знаком мінус, так як проекція пари сил на будь-яку вісь дорівнює нулю.

Це означає, що епюра Q по всій довжині балки обмежена прямою, паралельною осі. Тобто навантаження у вигляді зосередже­ного моменту не впливає на величину поперечної сили (рис. 68).

Рис. 68

Будуємо епюру М. Складаємо вираз згинального моменту в перерізі на відстані z₁ від лівої опори на ділянці АС.

Відкидаючи праву частину балки, маємо:

Відносно перерізу z₁ сила V_А згинає ліву частину балки випуклістю вверх, значить згинальний момент буде від’ємним. При цьому згинальний момент знаходиться в прямій залежності від z₁, це значить що графіком буде пряма лінія.

При z₁=0; ;

при z₁=a;

Відкладаючи ці значення у відповідних перерізах, будуємо епюру на ділянці АС, причому значення моменту в перерізі С відкладаємо вище осі (рис 68)

Для побудови правої частини епюри робимо переріз на відстані z₂ від правої опори (рис. 68) та відкидаємо ліву частину балки.

Знак буде додатним, тому, що сила V_B згинає праву частину відносно перерізу випуклістю вниз.

Графіком знову буде пряма лінія.

При z₂=0;

при z₂=b;

Відкидаючи ці значення у відповідних перерізах, маємо епюру М (рис 68).

Ми бачимо, що в перерізі С епюра М робить стрибок на величину момента пари (m);

У вищенаведених найпростіших прикладах побудова епюр Q i M виконувалась з попереднім складанням аналітичного виразу закону зміни Q або M по довжині балки, що є функціями від положення перерізу, яке визначається його абсцисою z. Для більш складних випадків навантаження балок доцільно будувати епюри Q i M за характерними точками (перерізами), що є границями ділянок навантаження; проміжні значення Q i M слід визначити тільки в окремих випадках. Нижче (в §37) наведемо приклад побудови епюр Q і M за характерними точками.