§45. Потенційна енергія деформації при згині.

Пружні системи, до яких вiднoтсяться споруди та їх складові частини, деформуються під дією зовнішніх сил, а при розвантаженні знову повертаються в початковий стан. Зовнішні сили при цьому здійснюють роботу, що перетворюється в потенційну енергію системи. Величина роботи зовнішніх сил вважається рівною сумарній роботі внутрішніх сил, що деформують окремі елементарні обєми тіла.

Робота внутрішніх сил чисельно дорівнює роботі зовнішніх сил, але протилежна по знаку, тому в подальшому під рівністю робіт будемо розуміти рівність їх за абсолютним значенням. Таким чином, задача визначення енергії деформації зводиться до обчислення роботи зовнішніх сил.

Для отримання загального виразу потенційної енергії при згині розглянемо балку постійного перерізу, що знаходиться в стані чистого згину; в її перерізах, як відомо, виникає тільки згинальний момент.

Виріжемо уявно з балки нескінченно малий елемент довжиною dz, кінцеві перерізи якого в результаті згину повернулись на кут d (рис. 89).

Робота зовнішнього моменту, як відомо із теоретичної механіки, дорівнює добутку моменту на відповідний кут повороту. В даному випадку пара сил прикладена статично, тобто роботу зовнішнього моменту визначаємо як половину добутку величини моменту на кут повороту перерізу:

.

Рис. 89

Але з рис. 89 видно, що , а так як згідно формули (81) , то ,тобто,

(99)

Так як при чистому згині згинальний момент - величина постійна, то повна робота внутрішніх сил чисельно дорівнює потенційній енергії на ділянці довжиною l:

(100)

При поперечному згині, як відомо, в перерізах балки виникають ще поперечні сили, але ними можна зневажити, так як вони майже не впливають на роботу, викликану згинальним моментом.

§46. Теорема про взаємність робіт.

Використовуючи поняття про роботу, що затрачена на деформацію, можна отримати досить зручний загальний метод визначення переміщень балок та стержневих систем при любих навантаженнях. Цей метод базується на розглянутих нижче положеннях та теоремах.

Завантажимо балку (рис. 90) послідовно двома силами F₁ та F₂, причому спочатку прикладемо до неї силу F₁, а потім (вже до зігнутої) - силу F₂ . Повна величина роботи W₁, викликану цими силами, складуть слідуючи три роботи:

1. Робота W₁₁, що викликана силою F₁, на власному переміщені ₁₁, що спричиняється нею, дорівнює

Індекси в позначенні роботи W₁₁ вказують: перший на силу, що виконує роботу, а другій - на силу, що спричиняє переміщення, на якому була виконана робота. Індекси переміщення ₁₁ вказують: перший - місце та напрям переміщення, другий - силу, що викликала переміщення.

2. Робота W₂₂, що викликана силою F₂ на власному переміщенні ₂₂, що спричиняється нею,

3. Робота W₁₂, що викликана силою F₁ на переміщенні ₁₂, що спричиняється силою F₂,

W₁₂=F₁₁₂

Сила F₁ при виконанні роботи W₁₂ має повне своє значення, тому в її виразі множник 1/2 випадає. Роботу W₁₂ будемо називати “роботою сили на чужому переміщенні”, або “віртуальною роботою”.

Таким чином, повна робота зовнішніх сил

W₁ = W₁₁ + W₂₂ + W₁₂.

Якщо змінити порядок прикладання зовнішніх сил, тобто спочатку прикласти до балки силу F₂ а потім силу F₁, то повна робота, виконана ними,

W₂ = W₂₂ + W₁₁ + W₂₁

Але так як величина роботи не залежить від порядку прикладання сил, праві частини виразів повних робіт W₁ та W₂ можна прирівняти:

W₁₂ = W₂₁ (101)

Формулу (101) можна прочитати так: робота першої сили на перемішенні, що викликане другою силою, дорівнює роботі другої сили на переміщенні, що викликане першою силою. Вона виражає теорему Бетті про взаємність робіт зовнішніх сил, названу по імені італійського вченого, що вперше опублікував цю теорему. Ця теорема справедлива і для тих випадків, коли на балку послідовно прикладені не дві сили, а дві системи сил.

Тепер розглянемо випадок, при якому сили, що діють на балку, дорівнюють одиниці, тобто F₁=F₂=1 (абстрактне число). Переміщення, що викликані одиничними силами, позначимо ₁₁, ₁₂ і т. д. на відміну від позначень ₁₁, ₁₂і т.д.,  прийнятих для переміщенння від сил любої величини.

Рис. 90

Робота сили F₁ = 1 на переміщенні, що викликане силою F₂ = 1,

W₁₂ = 1₁₂.

Робота сили F₂ = 1 на переміщенні, що викликане силою F₁= 1,

W₂₁ = 1₂₁.

Застосувавши теорему Бетті, маємо:

₁₂ = ₂₁

Ця рівність називається теоремою про зваємність переміщень, або теоремою Максвелла, названу по імені англійського вченого Д. Максвелла. Її можна прочитати так: переміщення в точці 1 від одиничної сили, прикладеній в точці 2, дорівнює переміщенню в точці 2 від одиничної сили, що прикладена в точці 1.