§59. Критична напруга. Гнучкість стержня. Границі застосування формули Ейлера.

Для забезпечення стійкості стержня потрібно щоб стискуюча сила F була меншого ніж критична F_к, або щоб робочі напруги в поперечних перерізах не перевищували напруг від дії критичної сили.

Напруги в поперечних перерізах стиснутого стержня від дії критичної сили F_к називаються критичними напругами та позначаються

Тобто,

Так як для стиснутого стержня критичні напруги є небезпечними, то для забезпечення стійкості прямолінійної форми стержня, потрібно до умови міцності на стиск додати ще умову стійкості

(142)

де - допустима напруга на стійкість, що дорівнює критичній напрузі, поділеній на коефіцієнт запасу стійкості k_ст, тобто

Знайдемо величину критичної напруги:

Вираз має свою, окрему назву:

- радіус інерції перерізу.

Із цього можна написати тоді

Якщо перенести величину в знаменник, отримаємо

(а)

Відношення розрахункової (приведеної) довжини стержня до меншого радіусу інерції називається гнучкістю стержня та позначається , тобто

.

Підставивши значення гнучкості у формулу (а), отримаємо

(143)

Тобто, критична напруга прямо пропорційна модулю поздовжньої пружності та обернено пропорційна квадрату гнучкості стержня. Формула (143) дозволяє також встановити границі застосування формули Ейлера. Ця формула була виведена за умови, що при любому значенні F стержень працює в межах пружних деформацій. Тому її не можна застосувати у випадках, коли критичні напруги стають більшими ніж границя пропорційності.

Тому, якщо формула Ейлера справедлива,якщо то не справедлива. Очевидно, що границею застосування формули Ейлера буде випадок, коли Для практичного застосування зручно виразити границі застосування формули Ейлера через гнучкість .

Замінимо у формулі (143) на ;

звідки визначимо граничне значення гнучкості стержня:

Прийнявши для сталі Ст.3 =200МПа: і Е=2 , отримаємо

тобто, якщо гнучкість стержня , то формула Ейлера справедлива, якщо , то не справедлива.

Досліди показують, що в тих випадках, коли критична напруга більша за границю пропорційності, то дійсні критичні сили виявляються набагато менші обчислених за формулою Ейлера. Ця формула, на практиці виявилась, може застосовуватись для певної категорії стержнів – тонких та довгих, тобто з великою гнучкістю, в той час як конструкції часто містять стержні з малою гнучкістю.

Тому виникла необхідність в розробці методів визначення критичних напруг і для випадків, коли вони перевищують границю пропорційності матеріалу, наприклад для будівельної сталі при гнучкості від 0 до 100 ( =0 100). Вирішальним у цьому питанні є результати експериментальних досліджень, хоча розв’язок цієї задачі можливий і теоретичним шляхом.

Найбільш багатий дослідний матеріал був зібраний професором Ф.С. Ясінським, яким складена спеціальна таблиця критичних напруг в залежності від гнучкості для багатьох матеріалів.

На основі дослідних даних Ф.С. Ясінським була запропонована емпірична формула для визначення критичної напруги в перерізах стержнів деяких конструкційних матеріалів;

(144)

де a і b – коефіцієнт, що визначаються дослідним шляхом.

Для сталі Ст.3 формула (144) має вигляд

=338,7-1,483 ; (145)

для дерева (хвойні породи)

=29,3 – 0,194 λ МПа

Визначивши величину критичної напруги, можна знайти критичну силу за формулою

.

Формула Ф.С. Ясінського придатна не при всіх значеннях гнучкості . На рис.116 зображений графік залежності критичної напруги від гнучкості для сталі Ст.3. Гіпербола Ейлера, побудована за рівнянням (143) при показана пунктиром в межах =60 100, так як нею користуватися на цій ділянці не можна.

Рис.116

Для гнучкості від 0 до 60 критична напруга приблизно постійна: = або = і тому стержні розраховують не на стійкість, а на міцність. Стержні, що мають гнучкість в межах розраховується за формулою Ф.С. Ясінського.

Перейдемо тепер до питання про допустиму напругу при поздовжньому згині, яку можна визначити при великих гнучкостях ( ) по формулі (143), а при малих гнучкостях – по формулі (144), розділивши знайдені значення критичної напруги на коефіцієнт запасу стійкості k_ст.

Коефіцієнт запасу стійкості k_ст приймають в межах:

для сталі – від 1,8 до 3;

для дерева – від 2,8 до 3,2.

Отже, для кожного значення гнучкості можна знайти своє значення допустимої напруги при поздовжньому згині: