§16. Вплив власної ваги бруса на напругу

При визначенні зовнішніх сил, що діють на брус, ми до цього часу не брали до уваги дію власної ваги, вважаючи, що її вплив у порівнянні з величиною зовнішнього навантаження, невеликий. Але при розрахунках бруса великої довжини (штанги, канату, ланцюга), кам'яних стовпів, колон, стін, фундаментів та ін. не можна не враховувати їх власну вагу, тому що результати розрахунку можуть суттєво змінитися.

Виведемо формулу для визначення величини напруги з врахуванням власної ваги. Візьмемо призматичний стержень постійного перерізу, що жорстко утримується верхнім кінцем, який розтягується силою F, прикладеною до нижнього кінця (рис. 19). Позначимо довжину стержня l, площу поперечного перерізу А та об'ємну вагу матеріалу ρ. Визначимо власну вагу стержня:

P=ρ·A·l

Рис. 19

Реакція жорсткого кріплення дорівнює сумі сил F та вазі стержня, тобто:

R=F+P

Звичайно, небезпечним перерізом стержня буде переріз АВ в його кріпленні. В цьому перерізі виникає найбільша поздовжня сила, що дорівнює сумі сил F та його ваги P. Напруга в цьому перерізі

_мах=

Знаючи, що P=ρlA, можна записати

_мах =

або

_мах= . (14)

Тобто, умова міцності для стержня буде мати вид

_мах= [] , (15)

звідки потрібна площа перерізу

А (16)

Тепер візьмемо довільний переріз стержня на відстані z від нижнього кінця та визначаємо в ньому напругу тільки від власної ваги:

_z= (17)

Звідси видно, що величина напруги в стержні постійного перерізу тільки від дії власної ваги не залежить від величини площі перерізу. Із цього рівняння видно також, що при деякій довжині напруга може досягнути величини границі міцності матеріалу _В, при якій стержень зруйнується від власної ваги.

Довжина, при якій стержень може зруйнуватися від дії власної ваги, може бути визначена за формулою

(18)

Аналогічно можна визначити найбільшу довжину, при якій в стержні від дії власної ваги виникають напруги, що дорівнюють допустимим:

Для визначення видовження бруса тільки від дії власної ваги виділимо з нього елемент довжиною d_z (ис. 19). На нескінченно малій довжині цього елемента розтягуючу силу можна вважати постійною. Величина абсолютного видовження цього елемента визначається за формулою (5)

d .

Інтегруючи цей вираз в межах від 0 до l, отримаємо видовження всього бруса:

(19)

Формулу (19) можна представити в іншому вигляді, якщо замість ρl поставити _z= :

(19')

Так як величина видовження бруса під дією сили F дорівнює , то із формули (19') випливає, що видовження бруса від власної ваги вдвічі менше, ніж від сили, що дорівнює власній вазі та прикладеній до нижнього кінця бруса. Повне видовження бруса

(19)

При розрахункові стальних стержнів, що мають порівняно велику міцність, вплив власної ваги може виявитись тільки при дуже великій їх довжині: при малій довжині вагою їх можна нехтувати. Те ж саме можна сказати і про дерев'яні бруси.

Що стосується кам'яних та бетонних конструкцій, що мають меншу міцність, особливо при розтязі, то вплив власної ваги на величину напруги при звичайній масивності таких конструкцій виявляється вже при порівняно невеликій їх висоті. В цьому випадку стиснуті елементи з постійним перерізом будуть неекономічними, так як напруги, що дорівнюють допустимим, виникають тільки в одному перерізі – в основі стовпа, стіни. Перерізи вище основи звичайно недовантажені, тобто напруги в них значно менші, ніж допустимі.

Тому із економічних міркувань необхідно перерізи бруса, що лежать вище основи, зменшувати. Ідеальним був би брус, якби у всіх його перерізах виникали однакові напруги. Очевидно, що для цього брус повинен мати по довжині змінну площу поперечного перерізу, що змінюється безперервно, тобто він повинен мати вигляд, показаний на рис. 20, а. Такий брус називається брусом рівного опору при розтязі та стискові. При цьому він виявляється найекономічнішим завдяки найменшій вазі.

Надання боковим граням бруса криволінійного окреслення ускладнює та здорожчує роботу, тому йому надають наближену форму бруса рівного опору, роблячи його ступінчастим (рис. 20, б).

Рис. 20

Приклад 9. Визначити найбільшу напругу стиску та повне укорочення бетонної колони постійного перерізу висотою l=10 м від дії власної ваги, якщо об’ємна вага бетону ρ=24 , а його модуль поздовжньої пружності Е = 2 · 10⁴ МПа.

Розв’язок. За формулою (17) визначимо найбільшу напругу в нижньому перерізі:

де z=l=10 м.

За формулою (19) знайдемо абсолютне укорочення

Приклад 10. Цегляна стіна несе рівномірне навантаження q=320 (рис. 21). Визначити нормальну напругу в перерізі 1-1 ( з врахуванням власної ваги стіни та фундаменту) та потрібну ширину b бутобетонного фундаменту. Об’ємна вага цегляної кладки ρ_к=16 , бутобетонної –ρ_б=20 . Допустима напруга для грунту []_гр=0,2МПа

Рис. 21

Розв’язок. Розрахунок фундаменту та стіни виконуємо для довжини 1 м. Повна напруга в перерізі 1-1 складається:

де F=q1=320 кН, А=0,641=0,64 м², z=6 м.

Знайдемо ширину підошви фундаменту. Навантаження на фундамент Q складається із F та ваги стіни Р.

Q=F+P=320+62,4=382,4 кН

де Р=ρ_кlcА=1660,65=62,4 кН, l_c=6 м.

Робоча напруга під підошвою фундаменту

За умовою міцності грунту (основи) на стиск, знаходимо ширину підошви фундаменту b

звідси b= .