§62. Розрахунки на міцність при динамічних навантаженнях.

Покажемо, як визначаються напруги, коли точки елемента конструкції отримують постійне прискорення. Нехай вантаж Q піднімається рівноприскорено на стальному канаті поперечним перерізом А (рис.118,а). Визначаємо напругу в перерізі стального канату, для чого застосовуємо метод перерізів і розглянемо рівновагу нижньої відсіченої частини (вагою канату нехтуємо).

Як бачимо із рис.118,б, ця частина рухається з прискоренням а, тому на неї крім ваги вантажу діє ще сила інерції, що направлена в сторону, протилежну прискоренню, яка дорівнює добутку маси вантажу на прискорення

де g – прискорення сили тяжіння – 9,81

За умовою рівноваги в перерізі виникає поздовжня сила Тоді напруга в цьому перерізі (назвемо її динамічною)

Як видно із отриманого виразу, величина є статичною напругою , тому запишемо

(148)

тобто величина динамічної напруги дорівнює

Рис.118

статичній напрузі, помноженій на величину яку назвемо динамічним коефіцієнтом k_Д. тобто формулу (148) можна записати так:

(149)

Умова міцності при динамічному навантаженні

звідки

(150)

Як видно із формули (148) при а=0, тобто коли прискорення відсутнє, динамічні напруги дорівнюють статичним. Іншими словами, у випадку рівномірного прямолінійного руху напруги в перерізах канату будуть такими ж, як і у випадку нерухомого стану вантажу.

Із викладеного стає очевидним, що динамічний розрахунок можна замінити статичним. Для цього досить зменшити допустиму напругу, розділивши її на динамічний коефіцієнт.

Розглянемо дію іншого виду динамічного навантаження – ударного. Якщо швидкість елемента конструкції або прилеглих до нього частин змінюється за досить короткий проміжок часу, то відбувається явище удару.

Наприклад, при забиванні палі молот, впавши з деякої висоти на палю, зупиняється майже миттєво, тобто зміна швидкості падіння молоту від деякої величини до нуля відбувається за досить короткий час, тобто відбувається удар.

Удар може бути поздовжнім (стискуючим або розтягуючим), коли вантаж падає на стержень вздовж його осі, та поперечним (згинаючим), якщо падіння вантажу на стержень відбувається перпендикулярно його осі.

Розглянемо явище удару при слідуючих припущеннях.

1. при ударі в елементі конструкції виникає

тільки пружна деформація;

2. удар вважається непружним, тобто тіло, що ударяє

не відскакує після удару, а продовжує переміщуватися разом

з ударяємим тілом як одне ціле;

3. маса тіла що ударяє вважається досить малою в

порівнянні з масою вдаряємого тіла і в рахунок не береться. Це

припущення, як побачимо далі, підвищує величину динамічної

напруги, тобто збільшує запас міцності при ударі.

Нехай вантаж вагою Q вільно падає з висоти h на довільну конструкцію, причому швидкість падіння його при ударі

звідки .

Конструкція під дією удару деформується, і точка удару переміститься в напрямі падіння вантажу на величину f_Д. Величина повної роботи падаючого вантажу

.

Отримана робота переходить в потенційну енергію деформації ударяємої конструкції. Якщо позначити буквою переміщення від одиничної сили, то відношення виразить собою еквівалентну силу, яка при своїй статичній дії викличе таке ж переміщення яке викликане ударом.

Знайдемо величину потенційної енергії:

Прирівняємо вирази кінетичної та потенційної енергії:

Розв’язавши це квадратне рівняння відносно отримаємо

.

Знак плюс перед коренем означає, що ми визначали найбільше значення переміщення.

Переміщення є переміщенням від статичної дії навантаження Q, тобто можна написати

. (151)

Вираз у дужках показує, в скільки разів результат ударної дії вантажу більше статичної дії, і називається динамічним коефіцієнтом.

(152)

звідки видно, що величина k_д зростає із збільшенням висоти h падіння вантажу.

Формула (151) може бути представлена у вигляді:

(153)

Так як ми прийняли припущення про справедливість закону Гука в межах пружності, то можна записати

(154)

або

(155)

Якщо прийняти h=0, тобто навантаження прикласти одразу (раптова дія навантаження), величина динамічного коефіцієнту

.

Таким чином, раптово прикладне навантаження викликає вдвічі більші напруги і деформації, ніж при статичному навантаженні.

Приклад 42. Визначити динамічну напругу в стальному канаті в момент підйому вантажу Q=60кН, якщо прискорення в цей момент а=5 Довжина канату 20м, площа його перерізу А=8см² і об’ємна вага

Розв’язок. Визначимо вагу стального канату

де

Визначимо поздовжню силу в канаті

Визначимо величину динамічного навантаження за формулою (148)

де

Приклад 43. При забиванні дерев’яної палі діаметром , довжиною молот вагою падає з висоти (рис. 119).

Визначити статичну та динамічну напруги в перерізі палі. Модуль пружності для палі Умовно вважаємо, що при ударі нижній кінець палі не переміщується (в кінці забивання). Власного вагою палі нехтуємо.

Рис.119

Розв’язок. Знаходимо площу перерізу палі

Знайдемо величину статичного поздовжнього укорочення палі:

де

Величина статичної напруги дорівнює

Знайдемо величину динамічної напруги за формулою (155)

Приклад 44. Визначити динамічну напругу в небезпечному перерізі двотаврової балки №30, якщо посередині падає вантажна , з висоти 50см. Проліт балки , , (рис. 120)

Рис 120

Розв’язок. Знаходимо величину найбільшого згинального моменту від статичної дії навантаження.

Знаходимо величину статичної напруги

де

Знаходимо величину статичного прогину за готовою формулою (див. додаток)

За формулою (152) знаходимо значення динамічного коефіцієнту

Тоді динамічна напруга – за формулою (154):

Динамічна напруга більша не тільки допустимої напруги, але і границі текучості.

Із наведених прикладів видно, що динамічна дія навантаження викликає досить великі напруги в перерізах елементів конструкцій в порівнянні з таким ж за величиною статичними навантаженнями. Особливо це стосується ударних навантажень.

Звідси можна зробити висновок, наскільки важливо при монтажі будівельних конструкцій (фундаментів, панелей, плит перекриття, тощо.) бути обережним при опусканні плити перекриття або іншої деталі на вже зібрану частину будівлі, щоб при цьому не відбулося удару.