§55. Позацентровий стиск (розтяг) бруса великої жорсткості

Вивчаючи деформацію розтягу або стиску ми розглядали випадок, коли сили, що діють на брус, або рівнодіючі систем сил, були прикладені в центрі ваги перерізу. В цьому випадку мала місце деформація осьового розтягу або стиску.

В будівельній практиці є багато конструкцій та їх елементів, що завантажені стискуючими силами прикладеними поза центром ваги перерізу (див. §52).

Деформація під дією сил паралельних осі бруса, якщо точки їх прикладання не співпадає з центром ваги перерізую, називається позацентровим стиском, або розтягом.

Відстань е точки прикладання сили до центру ваги перерізу називається ексцентриситетом.

В даному параграфі розглянемо випадок позацентрового стиску бруса великої жорсткості. Всі висновки будуть справедливі і для деформації позацентрового розтягу з врахуванням знаку напруги.

Бруси малої жорсткості, тобто стержні, при стискові можуть втратити стійкість форми, тобто зігнутися. Стиск стержнів ми розглянемо нижче.

Розглянемо спочатку випадок, коли стискуюча сила прикладена на одній з головних осей перерізу (рис.105).

Нехай сила F прикладена в точці А. Приведемо силу F до центру ваги перерізу, для чого прикладемо в ньому (точка 0) зрівноважену систему двох сил, рівних силі F.

В результаті цього на брус уже діє три сили: сила F, що прикладена в центрі ваги перерізу, і дві сили F, що складають пару сил з моментом M=F · l (перекреслені рисками). Очевидно, що сила F, прикладена в центрі перерізу, буде викликати осьовий стиск, а момент пари буде його згинати. Таким чином, випадок поза­центрового стиску ми привели до двох простих деформацій – осьового стиску та прямого згину.

Рис.105

Припускаючи, що деформації жорсткого брусу незначні, при розрахунках будемо користуватися принципом незалежності дії сил.

Застосовуючи метод перерізів, знаходимо, що в любому поперечному перерізі бруса виникає два внутрішніх силових фактори:

поздовжня сила N = –F і згинальний момент M_y = M = F · l.

Так як власну вагу бруса ми не враховуємо, значення внутрішніх сил будуть однакові у всіх поперечних перерізах.

Величина нормальної напруги, що виникає в любій точці поперечного перерізу бруса, визначається як алгебраїчна сума двох напруг:

— від осьового стиску і — від прямого згину, тобто

, або

.

(125)

При цьому кожен доданок підставляється у формулу зі своїм знаком, виходячи із характеру деформації бруса, тобто в даному випадку формула буде мати вигляд

.

(125´)

Якщо сила F прикладена по осі y, то

.

(125´´)

Найбільші напруги в перерізі будуть

.

(126)

Для визначення найбільшої напруги (по грані 1-3) перед другим доданком правої частини формули потрібно поставити знак плюс, тоді

,

(126´)

а для визначення найменшої напруги (по грані 2-4) – знак мінус, тоді

.

(126´´)

Якщо сила F буде прикладена по осі y, тоді відповідно

(по грані 1-2) (по грані 3-4)

Прийнявши для прямокутного перерізу А = h · b та та зробивши перетворення, надамо формулі (126) інший вид

,

або остаточно

.

(127)

Аналізуючи отриману формулу (127) можна сказати, що знак напруги залежить від виразу в дужках, причому можливі три випадки:

а) або .

В цьому випадку вираз у дужках може бути тільки додатнім. Це значить, що напруги від згину за абсолютним значенням будуть меншими від напруг стиску, тобто (рис.106,а). Тому в поперечному перерізі будуть діяти тільки напруги стиску. Нульова лінія в цьому випадку буде проходити поза перерізом (рис.106,а).

б) або .

В цьому випадку вираз у дужках може бути або додатнім, або дорівнювати нулю, тобто напруги в перерізі теж одного знаку.

в) або .

В даному випадку вираз у дужках може бути як додатнім, так і від’ємним, це значить, що напруги в перерізі будуть різних знаків тому, що напруга від згину буде більшою, ніж напруга від стиску, тобто σ_M > σ_N (рис.106,б). Нульова лінія знаходиться в межах поперечного перерізу. Справа від нульової лінії напруги від’ємні, а зліва – додатні.

Рис.106

Отже, результат дослідження формули (127), з точки зору впливу величини ексцентриситету на знак і величину напруги в перерізі можна звести до наступних положень:

1. якщо точка прикладання рівнодіючої всіх зовнішніх сил не виходить за межі середньої третини прямокутного перерізу, тобто ексцентриситет не перевищує , то напруги в перерізі будуть одного знаку, а нейтральна вісь проходить за межами перерізу;

2. якщо точка прикладання рівнодіючої лежить на границі середньої третини перерізу, тобто ексцентриситет дорівнює , то одна із крайніх напруг дорівнює нулю, а друга – в два рази більша напруги від осьового стиску; нульова лінія при цьому проходить по границі перерізу;

3. якщо точка прикладання сили лежить за межами середньої третини перерізу, то напруги в перерізі будуть різних знаків, а нейтральна вісь проходить в межах перерізу (рис.106,б).

Ми розглянули випадок, коли сила F прикладена справа від осі перерізу; відповідно цього побудовані епюри нормальних напруг на рис.106.

Установлена залежність між величиною ексцентриситету і характером напруг в перерізі має велике практичне значення. Наприклад, для кам’яних та бетонних неармованих колон, фундаментів, стін, що працюють в умовах позацентрового стиску, поява напруг розтягу в їх перерізах не бажана, а часто і недопустима. Справа в тому, що ці матеріали погано працюють на розтяг, їх допустимі напруги на розтяг дуже малі, і тому для таких конструкцій потрібно так підбирати їх поперечні перерізи, щоб точка прикладання рівнодіючої зовнішніх сил не виходила за межі середньої третини перерізу.

Тепер розглянемо випадок, коли стискуюча сила прикладена в точці, що не лежить на головних осях перерізу (рис.107).

Нехай сила F прикладена в точці поперечного перерізу з координатами e_x і e_y відносно головних осей інерції.

Від цієї сили в довільному поперечному перерізі бруса витікають: стискуюча поздовжня сила N=F та згинальні моменти: .

Нормовані напруги в довільній точці поперечного перерізу визначаються за формулою

.

(128)

Вибір знаків перед членами, що містять M_x і M_y залежить від положення точки в перерізі, в якій знаходимо напругу.

Рис.107

Для поперечних перерізів, що мають дві осі симетрії, найбільші нормальні напруги визначаються за формулою

.

(129)

Наприклад, напруга в точці d прямокутного перерізу (рис.107)

.

Аналогічно можна знайти напругу в інших точках вершин перерізу.

Розрахункова формула розрахунку на міцність по допустимим напругам при позацентровому стискові має вигляд:

.

(130)

Приклад 35. Від підкранової балки на залізобетонну колону передається сила F₁, що прикладена до консолі (рис.108). Сила ваги колони та фундаменту і осьове навантаження на колону дорівнює силі F₂. Визначити розміри квадратної підошви фундаменту, якщо допустима напруга на стиск ґрунту .

Рис.108

Розв’язок. Найбільша напруга стиску під підошвою фундаменту буде по ребру B, тобто

.

Так як ми визначаємо напруги стиску, знаки перед доданками можемо опустити. Умова міцності буде

.

Знайдемо всі необхідні величини:

та підставимо у формулу , або , або .

Маємо неповне кубічне рівняння; розв’яжемо його графічно. Побудуємо спочатку графік функції – це кубічна парабола, а графік – це графік прямої лінії. Побудуємо ці графіки в осях a, y (рис.109). Масштаб осі а візьмемо більшим ніж осі y.

Рис.109

Ці графіки перетнулися в точці А, з загальною абсцисою 1,55 м. Тобто, за умови міцності основи (ґрунту) розмір підошви фундаменту повинен бути не менше, ніж а = 1,55 м.