Питання для самоконтролю :

1.Чому дорівнює крутний момент в поперечному перерізі бруса ?

2.Які напруги виникають в поперечному перерізі бруса при крученні?

3.Який кут називається повним кутом закручування ?

4.Що називається жорсткістю перерізу валу при крученні ?

5.В яких точках перерізу круглого бруса виникають найбільші дотичні напруги ?

6.По якому закону розподіляються дотичні напруги в перерізі круглого брусу при крученні ?

7.В чому суть розрахунку на жорсткість ?

8.Що таке допустимий кут закручування ?

Розділ VIII Складний опір

§53 Косий згин. Нормальні напруги при косому згині. Рівняння нульової лінії .

Ми розглянули випадки коли елементи конструкцій знаходились під впливом однієї із простих деформацій: осьовий розтяг або стиск, зсув, згин або кручення. Але на практиці, в багатьох випадках конструкції та їх елементи зазнають одноразово не одну із вказаних деформацій, а дві і більше.

Наприклад, колони та зовнішній стіни будівель, що завантажені позацентрово, зазнають не тільки стиск, але і згин; сходинкові марші також зазнають стиск та згин; вали машин крім кручення зазнають ще і згин і т. д.

Елементи конструкцій, в яких одночасно виникає дві, або більше простих деформацій, знаходяться в стані складного опору .

Розглянемо деякі випадки складного опору, при чому при визначенні напруг будемо користуватися принципом незалежності дії сил .

Одним із видів складного опору є косий згин. Цей вид деформації виникає, в прогонах та балках, що спираються на похилу площину; рейка на завороті залізничної колії і т. д.

Визначення косого згину ми зробили в §33, нагадаємо його: згин називається косим, якщо силова площина не співпадає ні з однією із головних площин бруса .

Розглянемо деформацію косого згину на простому прикладі. Нехай на консоль діє зосереджена сила F, що прикладена до вільного кінця під кутом  до головної осі y (рис. 101,а). Силу F розкладемо на складові по напрямку головних осей х та у. Величини складових дорівнюють:

F_x = Fsin ; F_y = F cos

Замінивши силу F двома складовими, ми привели випадок косого згину до двох прямих згинів відносно осей х та у. Розглянемо спочатку згин відносно осі х під дією сили F_y ( рис. 101,б). У верхній частині бруса розтягнуті волокна, у нижній - стиснуті. Найбільші напруги виникають в небезпечному перерізі АВСD в найбільш віддалених точках від нейтральної осі. Ці точки знаходяться по лінії ВС

Розглянемо згин відносно осі у під дією сили F_x (рис.101,в).Стиснуті волокна у нас будуть лівіше від осі у, а розтягнуті - правіше. Найбільші напруги виникають в точках по лінії CD

Але ці два згини відбуваються одночасно, тобто під дією сили F, а напруги в точках поперечного перерізу алгебраїчно додаються. В першому та третьому квадрантах перерізу напруги одного знаку, а в другому та четвертому - як додатні такі від’ємні (рис. 101, г). Це значить що нейтральна вісь проходить через другий та четвертий квадрант (рис. 101,г).Точки які найбільш віддалені від нейтральної осі - точки С і А, в них виникають найбільші напруги

(114)

Значення моментів, для нашого прикладу, дорівнюють

(115)

M_x та М_у - це моменти відносно головних осей х і у, тобто складові моменту М, що діє в площині дії сили F. Він дорівнює F l.

Визначимо напруги в довільній точці К ( з координатами х, у ), що розміщена у третьому квадранті ( рис. 101, а ). Ми маємо можливість визначити для цієї точки нормальні напруги. що викликані окремо моментами М_х та М_у, які згинають балку в головних площинах zy та xz .

Нормальні напруги в точці К є стискуючими (від’ємними) і є сумою напруг від згину моментами М_х і М_у

або з врахуванням формул (115)

(116)

В даному випадку цією формулою можна користуватися при визначені напруг в любій точці перерізу балки .

Хоча формула (116) і отримана із розгляду часткового випадку косого згину балки, закріпленої одним кінцем та завантаженого на іншому зосередженою силою F, але вона є загальною формулою для визначення напруг при косому згині. Для балок, завантажених та закріплених інакше потрібно лише враховувати знаки моментів M_x та M_y.

Знаходження небезпечних точок при косому згині зводиться до визначення положення нейтральної осі та їх відстані до неї.

Рівняння нульової лінії (нейтральної осі) отримаємо із умови, що нормальні напруги в точках, що лежать на цій осі, дорівнюють нулю. Позначимо координати цих точок x₀ та y₀; підставимо ці величини у формулу (116)

− = 0

Скорочуємо на –M, маємо

+ = 0

(117)

Це і є рівняння нейтральної осі; вона є прямою лінією, що проходить через центр ваги перерізу (при x₀ = 0, y₀ = 0) (рис.102)

Так як нейтральна вісь проходить через центр ваги перерізу, то для визначення її положення достатньо знати кут β між нейтральною віссю та віссю x.

Рис.102

Із креслення видно, що тангенс цього кута дорівнює відношенню y₀ до x₀ за абсолютним значенням

tg β= .

З врахуванням рівняння (117) отримаємо

tg =

(118)

Таким чином, положення нейтральної осі не залежить від величини сили F, а лише від кута нахилу вантажної площини до осі y і від форми перерізу. Кути α і β в загальному випадку не однакові, тобто нульова лінія не перпендикулярна силовій лінії як це мало місце у випадку прямого згину. Взаємна перпендикулярність їх буде у випадку, коли I_x = I_y, тобто для квадратних, круглих та інших перерізів, у яких однакові головні моменти інерції перерізу.