Розділ VII . Кручення прямого бруса круглого перерізу

§ 49. Відомості про деформацію кручення прямого бруса круглого перерізу

З першого розділу ми знаємо, що деформація кручення, це деформація, при якій в поперечному перерізі виникає тільки один внутрішній силовий фактор - крутний момент М_к. З деформацією кручення на практиці приходиться зустрічатися досить часто: вали механізмів та машин, карданний вал автомобіля, елементи просторових конструкцій, пружини і навіть звичайний замочний ключ - все це приклади стержнів ( брусів ), що працюють на кручення.

Розглянемо деформацію кручення на слідуючому прикладі. Уявимо, що до вільного кінця жорстко закріпленого бруса круглого поперечного перерізу ( рис. 97, а ) прикладена пара сил з моментом m, що діє в площині, перпендикулярній до його осі. Під дією цієї пари брус буде зазнавати деформацію кручення, яку будемо припускати протікає пружно. Момент пари, що скручує брус, називається скручуючим моментом та позначається m .

Рис . 97

Досліди показують, що при крученні вісь бруса залишається прямою, кінцеві перерізи - плоскими, а радіуси, позначені на кінцевих перерізах, не викривляються . Кола, нанесені на поверхню бруса, до деформації не змінюються і після неї. Всі твірні повертаються одна відносно одної на той самий кут, перетворюючи прямокутники на поверхні бруса в однакові ромби ( рис . 97, б, в). Це явище можна спостерігати скручуючи гумовий брус з нанесеними лініями на його поверхні. Все вищесказане дає можливість припустити, що кожен елемент (на поверхні та всередині бруса) зазнає чистий зсув і, отже, в поперечних перерізах бруса виникають тільки дотичні напруги.

Кут, на який повертається навколо осі один переріз відносно іншого, називається кутом закручування та позначається буквою φ (Рис. 97, а). Величина його пропорційна відстані між перерізами.

Кут повороту ВОВ₁, правого кінцевого перерізу відносно лівого закріпленого називається повним кутом закручування .

§ 50 . Крутний момент. Побудова єпюри крутних моментів .

Для знаходження внутрішніх сил в перерізах бруса застосуємо метод перерізів . Розріжемо брус площиною 1–1 перпендикулярно його осі на відстані Z від закріпленого кінця, а потім, відкинувши праву його частину ( рис. 97, г ) замінимо її дію внутрішніми силами . На залишену частину діє тільки реактивний момент m в опорі . Тому очевидно, що внутрішні сили в поперечному перерізі 1 – 1 зрівноважать зовнішню пару з моментом m і будуть являти собою теж пару сил з моментом М_к .

Цей момент внутрішньої пари сил, що діє в площині поперечного перерізу бруса, називається крутним моментом та позначається М_к .

Для трансмісійного валу, на який насаджено декілька шківів, що передають обертання робочим органам станка, необхідно вміти визначати величини крутних моментів в поперечних перерізах кожної ділянки валу між шківами. В цьому випадку будують епюри крутних моментів М_к, щоб мати наочне уявлення про зміну їх величини по довжині валу .

Побудуємо єпюру крутних моментів для трансмісійного валу (рис. 98, а), що отримує від двигуна через пасову передачу та шківа А скручуючий момент m₁, який витрачається на приведення в дію робочих органів станка через шківи В, С і D.

Але вал, крім кручення, зазнає ще і згин від ваги шківів та натягу пасів, але при орієнтовному розрахунку валів, що розглядається в даному розділі, впливом згину нехтуємо .

Нехай m₁ = 5 кН·м, m₂=2 кН м, m₃= 1,5 кН м, m₄=1,5 кН м,

причому m₁ діє на вал від ведучого шківу ( в одну сторону ), а m₂, m₃ та m₄ - від ведених шківів ( в іншу сторону ).

Нехтуючи тертям в підшипниках, при стійкому рівномірному обертанні валу повинна виконуватись умова рівноваги

m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 0 .

Застосовуючи метод перерізів та розглянувши рівновагу любої із відсічених частин, знаходимо величину крутного моменту в перерізі, що розглядається .

Рис. 98

Крутний момент в довільному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі скручуючих моментів, що діють на брус по одну сторону від перерізу .

Домовимося рахувати знак крутного моменту по знаку скручуючого.

Якщо дивитися на відсічену частину зі сторони вільного кінця валу в напрямку до перерізу, і скручуючий момент при цьому направлений в сторону годинникової стрілки, то крутний момент в цьому перерізі будемо вважати додатнім. В протилежному випадку - від’ємним . Взагалі можна прийняти любе правило знаків за напрямком, але, при цьому треба тільки суворо дотримуватися якогось правила при побудові епюр по всій довжині валу.

Так як тертям в підшипниках ми нехтуємо, то зліва від шківа В та справа від шківа D крутні моменти в перерізах валу дорівнюють нулю. На ділянці ВА, зробивши переріз та відкинувши праву частину валу, діє скручуючий момент m₂ за годинникового стрілкою. Значить

Зробивши переріз на ділянці АС, та відкинувши теж праву частину маємо

Зробимо переріз на ділянці СD, та відкинемо ліву частину, тоді будемо мати

Відкладаючи від прийнятої осі абсцис в довільному масштабі ординати, що відповідають значенням крутних моментів в перерізах валу, що знайдені на його ділянках, отримаємо епюру крутних моментів (рис. 98, б).

Додатні значення крутних моментів можна відкладати як вище від осі, так і нижче.

Звернемо увагу на характер зміни ординат епюри крутних моментів . В тих її точках, які відповідають точкам прикладання скручуючих моментів, епюра робить стрибок на величину моменту.