§48. Розрахунок балок на жорсткість.

Балки, в яких поперечний переріз підбирався за умовою міцності, можуть отримувати значні деформації, тобто зігнута вісь має значну кривизну і її прогини виходять недопустимо великими.

В багатьох випадках такі прогини балок можуть порушити нормальну експлуатацію будівлі або споруди. Наприклад, внаслідок недопустимо великого прогину балок міжетажного перекриття останні стають хиткими. В результаті цього може розтріскуватися і навіть облетіти штукатурка стелі.

В промислових будівлях значні прогини елементів конструкцій можуть викликати аварію. Наприклад, через великі прогини підкранових балок може відбутися недопустиме уширення кранових шляхів і, як наслідок цього, схід з рельсів мостового крану.

Звідси зрозуміло, яке значення придається дотриманню допустимих значень прогинів для деяких елементів конструкцій, що згинаються.

Тому балки перекриття та інші конструкції цивільних та промислових будівель підбирають за умовою жорсткості, для чого звичайно задається найбільший допустимий прогин. Технічними умовами та нормами проектування для різних класів будівель та споруд встановлені значення допустимих прогинів від і до прольоту балки, а в деяких випадках і менші.

Таким чином, умова жорсткості може бути виражена формулою , тобто найбільший прогин балки не повинен перевищувати допустимого.

На практиці для спрощення та прискорення розрахунків часто приходиться користуватись готовими формулами із довідників для визначення прогинів та кутів повороту як при підборі поперечних перерізів, так і при перевірці жорсткості перерізів працюючих балок. Готові формули застосовують також при розвязуванні статично невизначених задач при згині.

Готові формули для деяких видів навантаження наведені в додатках. В тих випадках, коли на балку діє декілька видів навантажень, необхідно використати принцип незалежності дії сил, у відповідності з яким визначають переміщення від кожного виду навантажень, а потім додають .

При цьому припускається, що визначений розрахунком найбільший прогин виникає в перерізі, досить близьким до середини балки, про що говориться вище (див. приклад 26).

При розрахунку на жорсткість у формулу прогину для заданої схеми балки та навантаження підставляють значення величини допустимого прогину і визначають величину потрібного моменту інерції, за яким і приймають необхідний переріз балки. Для підбору стальних двотаврових та швелерних балок користуються сортаментом.

Нижче наведені приклади підбору перерізів балок за умовою жорсткості.

Приклад 28. Підібрати переріз стальної двотаврової балки за умовою міцності та жорсткості (рис. 95). Допустима напруга  = 160 МПа; допустимий прогин ; Е = 210⁵ МПа; q = 8 кН/м; F = 25 кН.

Рис. 95

Розвязок. Для підбору перерізу за умовою міцності найбільший згинальний момент посередині прольоту знайдемо як суму згинальних моментів від кожного навантаження окремо:

кНм

За формулою (91) знайдемо потрібний момент опору

см³

За сортаментом приймаємо Дв. № 24 з W_x = 289 см³

Умова жорсткості має вигляд

, або

см

Звідси знайдемо величину необхідного моменту інерції перерізу

см⁴.

По сортаменту приймаємо Дв. № 27 з I_x = 5010 см⁴.

При підрахунках потрібно слідкувати за одиницями вимірювання. В даному випадку довжини прийняті в сантиметрах.

Із наведеного прикладу видно, наскільки різні перерізи балок, що визначаються із умов міцності та жорсткості.

Приклад 29. Перевірити жорсткість деревяної балки, що зображена на рис. 96; Е = 10⁴ МПа; ; F = 10 кН; q = 8 кН/м; b = 18 см; h = 24 см.

Рис. 96

Розвязок. Момент інерції поперечного перерізу балки

см⁴

Допустимий прогин см

Величина повного прогину складається із прогинів від розподіленого навантаження та зосередженої сили.

де а = 1 м = 100 см, b = 2 м = 200 см, тоді

Остаточно f =1,42 см   f  = 2,25 см.

Умова жорсткості виконується.

Перші роботи по дослідженню згину балок провів Галілей, та опублікував їх в 1638 році. Ці дослідження були направлені головним чином на розвязок задачі про напруги при поперечному згині балок - одній із найважчих задач за весь період розвитку опору матеріалів. Але правильного розвязку Галилей не дав і не міг дати, так як він виходив із законів механіки абсолютно твердого тіла, не приймаючи до уваги пружних властивостей матеріалу. Але його роботи зробили значний вплив на розвиток науки про міцність матеріалів.

Відкритий Гуком в1678 році закон прямої пропорційності між навантаженням та деформацією дозволив правильно підійти до розв’язку задачі про напруги при згині балок, яку згодом розвинули французькі вчені. Так, перший правильний розвязок цієї задачі дав в 1713 р. Паран. Теорія згину в її сучасному вигляді була викладена Навьє в 1826 р. в курсі опору матеріалів. Заслуга введення в науку поняття про моменти інерції перерізу та розробка їх теорії належить Персі.

В період двадцятих та тридцятих років ХІХ сторіччя зявились нові (на той час) матеріали - чавун та зварне залізо, що знайшли досить широке застосування головним чином у звязку з інтенсивним ростом залізничного будівництва. Це зробило значний вплив на розвиток науки про опір матеріалів. Завдяки введеному французьким вченим Коші поняттю про напруги зявилась можливість їх визначення та порівняння з допустимими напругами. Ця обставина створила небувалу до цього впевненість у інженерів про надійність виконуваних ними розрахунків, і з цього часу опір матеріалів став прикладною наукою, здатною вирішувати практичні задачі техніки.

Дотичні напруги відкрив французький вчений Кулон (1736 - 1806), але визначити величину їх йому не вдалося. Але всі праці французької школи по розвязуванні задачі про напруги відносились тільки до чистого згину і не враховували зсувів. Вперше розвязок задачі про поперечний згин дав російський вчений Д. І. Журавський. Він в 1848 р. вперше вивів формулу для знаходження дотичних напруг при згині, якою користуються і в даний час.

Диференційне рівняння зігнутої осі балки вперше вивів Л. Єйлер. Він застосував його до дослідження деяких випадків поперечного згину, а також при створенні теорії поздовжнього згину стиснутих стержнів. Подальші дослідження зігнутої осі балки провів Навьє. Але його метод був досить громіздкий, що викликало прагнення до створення більш простих методів розвязку цієї задачі.

Значне спрощення в розвязку цієї задачі внесли прийоми інтегрування диференційних рівнянь зігнутої осі балки, розроблені німецьким вченим Клебшем (1833 - 1872) та пізніше - російським вченим І. Г. Бубновим (1879 - 1919). Успішний розвязок задачі був зроблений лише в 1923 р. російським вченим М. П. Пузиревським (1861 - 1934) стосовно балок, що лежать на пружній основі, причому метод був названий “методом початкових параметрів”. Академік Крилов (1863 - 1945) дав суворе обгрунтування вказаного методу.В галузі застосування методу початкових параметрів до простих балок слід відмітити праці професорів М. Г. Куліковського, Г. С, Глушкова, С. М. Соколова, І. С. Подольского, М. К. Снітко, О. О. Уманського та ін.

Багатьма вченими вказаний метод, поширений на розвязок інших, більш складніших задач, повязаних з питаннями згину стержнів. Серед них можна вказати, наприклад, на праці проф. М. І. Безухова, що поширив метод початкових параметрів на динамічні задачі згину, проф. М. К. Снітко - на задачі стійкості та ін.

В даний час метод початкових параметрів є загальнопризнаним та широко застосовується при розвязуванні різних задач, повязаних із згином елементів конструкцій.

Питання для самоконтролю.

1. Що називається згином ?

2. Який згин називається прямим ?

3. Чому дорівнюють поперечна сила та згинальний момент в довільному перерізі бруса ?

4. Який закон розподілу нормальних напруг по поперечному перерізу бруса ?

5. В яких точках перерізу виникають найбільші нормальні напруги ?

6. В яких точках перерізу виникають найбільші дотичні напруги ?

7. Що називається пружною лінією балки ?

8. Який звязок між кривизною бруса, згинальним моментом та жорсткістю балки ?