§47. Формула Мора для знаходження переміщень при згині. Правило Верещагіна. Формула Сімпсона.

Нехай потрібно визначити вертикальне переміщення точки А балки (рис. 91, а). Позначимо дійсний стан балки F, а фіктивний стан її - i . Фіктивний стан, це коли ми замість заданого навантаження прикладемо одиничну силу в тій точці де потрібно знайти переміщення, та по його напрямку, тобто одиничну силу прикладаємо в точці А (рис. 91, б).

Робота зовнішніх сил дорівнює добутку одиничної сили на шукане переміщення у_А:

W_{i F} = iy_A

Робота внутрішніх сил

Але так як деформації тіла пружні, то робота зовнішніх сил чисельно дорівнює роботі внутрішніх сил, тобто W_{i F} = U_{i F} . Тобто,

(102)

Формула (102) називається формулою (інтегралом) Мора і дозволяє визначити переміщення любої лінійно деформованої системи (або балки) від любого навантаження. Підінтегральний вираз в цій формулі буде додатнім, якщо обидва згинальних моменти входять у формулу з однаковими знаками, тобто коли їх епюри знаходяться по одну сторону від осі балки.

Для визначення переміщення за формулою Мора необхідно виконати слідуючі дії:

1) зипасати вираз згинального моменту M_F від заданого навантаження в перерізі А;

2) розглянути фіктивний стан балки, тобто зняти задане навантаження та прикласти до неї одиничну силу в точці, де знаходимо переміщення та по його напрямку;

3) складаємо вираз згинального моменту для фіктивного стану в перерізі А;

4) обчислюємо інтеграл (102) із добутку виразів цих моментів, поділених на жорсткість перерізу балки.

Рис. 91

У випадку, знаходження кутового переміщення (кута повороту) якогось перерізу замість одиничної сили прикладаємо одиничний згинальний момент.

Що стосується знаку переміщення, треба памятати, що він залежить від напрямку одиничної сили; якщо результат обчислень буде додатнім, переміщення теж додатнє, тобто воно відбувається за напрямком одиничної сили, та навпаки, якщо результат відємний. Тому немає значення, в яку сторону направлена одинична сила.

Обчислення переміщень за формулою Мора значно спрощується, якщо використати для цього формулу Сімпсона або правило Верещагіна.

Основна перевага цих формул заключається в тому, що за їх допомогою можна обійтись без інтегрування добутків значень моментів в перерізі. Ці трудомісткі операції замінюються найпростішими геометричними обчисленнями, що заключаюься в “перемноженні епюр” згинальних моментів від заданого навантаження та одиничної епюри.

Розглянемо спочатку правило Верещагина. Нехай на ділянці АВ балки постійної жорсткості (рис. 92) епюра прямолінійна і виражена рівнянням

=kz + b;

друга епюра з довільним окресленням M_F(z).

Рис. 92

Підставимо вираз в інтеграл (102), отримаємо :

Очевидно, що перший інтеграл являє собою статичний момент площі епюри М_F () відносно осі ординат, що дорівнює z₀, а другий інтеграл - площу епюри M_F в межах від А до В (), тоді

Але множник kz₀b = - ордината прямолінійної епюри , що знаходиться проти центру ваги площі . Тому остаточно маємо

(103)

тобто, інтеграл Мора дорівнює добутку площі епюри M_F (від заданого навантаження) на ординату прямолінійної епюри M_i, що знаходиться під центром ваги епюри M_F, діленому на жорсткість перерізу балки EІ_x.

Потрібно памятатти, що обидві епюри на ділянках повинні бути безперервними функціями, а ордината  береться тільки з прямолінійної епюри.

Для випадку складених епюр згинальних моментів M_F від заданого навантаження, вона розбивається на ділянки, які перемножаються окремо.

Формула Сімпсона для обчислення інтегралу Мора має вигляд

(104)

де l - довжина ділянки епюр (рис. 93)

а, с - ординати епюри M_F на початку та на кінці ділянки.

b - ордината епюри M_F посередині ділянки.

а, b, c - відповідно теж саме для ділянки епюри .

Знак добутків аа, bb, cc визначається за тим-же правилом, що і у формулі Мора: якщо обидві епюри знаходяться по одну сторону від осі (рис. 93), то знак добутку додатній.

Рис. 93

Формула Сімпсона використовується у випадку складних епюр на ділянках балки від заданого навантаження.

Приклад 27. Для двотаврової балки, зображеної на рис.94, знайти прогин кінця консолі.

Дв. № 24, Е = 210⁵ МПа

Рис. 94

Розвязок. Знаходимо реакції опор за умовою рівноваги:

1. M_A = 0 q31,5 + F₁4 - V_Д5 + F₂7 = 0

2. M_Д = 0 V_A5 - q33,5 - F₁1 + F₂2 = 0

Із (1) знаходимо:

V_Д = кН

Із (2) знаходимо:

V_А = кН

Перевірка: Y_i = 0 V_A - q3 - F₁ + V_Д - F₂ = 19 -103 - 30 + 61 - 20 = 80 - 80 = 0

Будуємо епюру поперечних сил Q по характерним точкам (рис. 94, б)

Q_A = V_A = 19 кН, Q_B = V_A - q3 = 19 - 103 = -11 кН,

Q_С^лів = V_A - q3 = -11 кН, Q_c^np = -V_Д + F₂ = -61 + 20 = -41 кН,

Q_Д^лів = -V_Д + F₂ = -61 + 20 = -41кН, Q_Д^пр = Q_E = F₂ = 20 кН.

Будуємо епюру згинальних моментів М_х (рис. 94, в).

М_А = 0, М_В = V_A3 - q31,5 = 193 - 1031,5 = 57 - 45 = 12 кНм,

M_C = V_Д1 - F₂3 = 611 - 203 = 1 кНм, М_Д = -F₂2 = -202 = -40 кНм,

M_E = 0.

Знайдемо екстремальне значення згинального моменту на ділянці АВ балки. В точці, де епюра Q перетинає вісь епюри, поперечна сила дорівнює нулю.

Q_z = V_A - qz = 0, звідси z = = 1,9 м, тоді

кНм

Для знаходження прогину в точці Е розглядаємо фіктивний стан балкаи. Для цього знімаємо задане навантаження та прикладаємо в точці Е одиничну силу F = 1 (рис. 94, г). Будуємо від цієї сили епюру згинальних моментів ₁ (рис. 94, д).

_А = 0, _Д = -F2 = -2 м, _Е = 0

Як бачимо, в даному випадку реакції опор від фіктивного навантаження можемо не визначати.

Для визначення переміщення в точці Е використаємо правило Верещагіна та формулу Сімпсона: на ділянках АВ, СД - формулу Сімпсона, на ділянках ВС, ДЕ - правило Верещагіна. Ділянку ВС у вигляді трапеції розібємо на дві площі - трикутник ₁ та прямокутник ₂ .

Значення а_і, b_і, с_і, _і знаходимо геометрично із подібності трикутників окремо, а також площі _i. Значення цих величин підставляємо у формули знаходження переміщень.

Отримали знак плюс, це значить, що переміщення точки Е балки відбувається за напрямком одиничної сили F₁ тобто зверху вниз.

За таблицями сортаменту приймаємо I_x = 3460 см⁴.

Чисельник переміщення має одиницю вимірювання кНм³, перевівши метри в сантиметри, маємо:

кНм³ = кНсм³ = см,

де Е = 210⁵ МПа = 210⁴ кН/см².