Питання для самоконтролю

1. Які напруги виникають в похилих перерізах бруса при розтязі та стискові?

2.В яких перерізах виникають найбільші нормальні та дотичні напруги при розтязі та стискові?

3. Чому дорівнює сума нормальних напруг в двох взаємно перпендикулярних перерізах, що розтягуються?

4. В чому суть закону парності дотичних напруг?

5. Які напруги називаються головними?

6. Який напружений стан матеріалу називається лінійним, плоским, об'ємним?

7. Яка мета теорій міцності? В чому їх суть?

8. Які теорії придатні для розрахунку пластичних матеріалів, а які для крихких?

Розділ іv. Практичні розрахунки на зсув та зминання

§ 26. Деформація зсуву. Закон гука для зсуву

З’єднання окремих елементів будівельних конструкцій між собою здійснюється по різному, залежно від матеріалу, з якого виготовлена конструкція, і технологічних вимог.

Для металевих конструкцій використовують зварні з’єднання, болтові та заклепкові; для дерев’яних конструкцій – клеєві, шпоночні та на врубках; для залізобетонних конструкцій – за допомогою спеціальних закладних деталей. Для нормальної експлуатації будівель та споруд з’єднання повинні бути міцними та надійними в експлуатації, тому вони теж підлягають розрахунку. Загальні питання розрахунку викладені в курсах відповідних конструкцій. В даному розділі розглянемо розрахунок деяких простих видів з’єднань, що сприймають розтяг або стиск: з’єднання металевих елементів зварюванням і заклепуванням та дерев’яних елементів на врубках.

Всі ці з’єднання працюють на зсув. Цей вид деформації має місце тоді, коли в поперечному перерізі виникає поперечна сила (Q).

Вище було сказано, що при осьовому розтязі та стискові в похилих перерізах виникають як нормальні так і дотичні напруги, тобто розділені частини бруса прагнуть не тільки відірватися одна від одної, але і зсунутися. Розглянемо деформації та напруги при зсуві.

Якщо жорстко закріпити досить короткий брус одним кінцем, а другий завантажити силою F, то в ньому буде виникати одночасно зсув і згин (рис. 33, а). Але для дуже короткого бруса вплив згину буде незначним і тому його можна не враховувати .

Рис. 33

Під дією сили F кожний поперечний переріз бруса зсувається відносно сусіднього вниз, в результаті чого кінцева грань bd займе положення b₁d₁. Величина bb₁ (або dd₁) на яку переміститься точка b (або d) називається абсолютним зсувом.

Величина абсолютного зсуву даного перерізу залежить від відстані цього перерізу до кріплення: чим вона більша, тим більший абсолютний зсув. Відношення величини абсолютного зсуву до відстані ab називається відносним зсувом.

= tgγ,

а, так як кут  дуже малий, можна вважати:

= γ (радіан)

Зробимо переріз 1-1 (рис. 33, в) нескінченно близько до кінця бруса та відкинемо ліву частину. Дію відкинутої частини на праву замінимо внутрішніми силами, які будуть лежати в площині поперечного перерізу, тобто ці сили будуть викликати дотичні напруги τ. Розподіл їх по площі перерізу не буде рівномірним, але для спрощення розрахунків будемо вважати, що дотичні напруги при зсуві розподіляються рівномірно по перерізу (рис. 34). Тому величину дотичних напруг при зсуві можна визначати за формуло

, (44)

порівнюючи формулу (44) з формулою (3)

σ = ,

що визначає величину нормальних напруг при розтязі або стискові ,помічаємо, що ці формули однакові. Але між ними є суттєва різниця. При осьовому розрізі (стискові) рівномірність розподілення нормальних напруг підтверджена дослідом, а розділ дотичних напруг при зсуві приймається рівномірним лише умовно – з ціллю спрощення розрахунків. Тому формула (44) дає не дійсне, а середнє значення дотичних напруг. Крім того, при розтязі та стискові розрахункові напруги визначаються на площі А, що перпендикулярна напрямку зовнішніх сил F, а при зсуві розрахункова площа перерізу паралельна їй.

За результатами дослідів встановлено, що величина абсолют­ного зсуву в межах пружних деформацій прямо пропорційна силі F, відстані h між перерізами ас і bd та обернено пропорційна площі поперечного перерізу А.

Рис. 34

Якщо при цьому врахувати залежність деформації зсуву від пружних властивостей матеріалу, ввівши коефіцієнт пропорційності , то отримаємо наступну формулу для визначення величини абсолютного зсуву:

(45)

Взявши до уваги, що і , отримаємо:

, (46)

тобто, дотична напруга прямо пропорційна відносному зсуву. Формула (46) виражає закон Гука для зсуву.

Постійна G, що входить до формул (45) і (46), називається модулем зсуву та має вимірність напруги, тобто виміряється в МПа.

Модуль зсуву G характеризує опірність матеріалу деформації зсуву. Величина його визначається дослідним шляхом.

Таким чином, для оцінки пружних властивостей кожного ізотропного матеріалу маємо три характеристики:

• модуль поздовжньої пружності Е;

• коефіцієнт Пуассона ;

• модуль зсуву G.

Ці три пружні характеристики пов’язані між собою залежністю, яку даємо без доказу:

(47)

Прийнявши для сталі значення і , визначимо для неї за формулою (47) величину модуля зсуву:

тобто .

Практичні розрахунки на зсув мають мету перевірити міцність деталей, призначених для з’єднання окремих конструкцій, а також підбір їх перерізу. При розрахунку цих з’єднань повинна виконуватися умова, щоб робочі напруги зсуву або сколювання не перевищували допустимої напруги, тобто

(48)

Рівняння (48) є розрахунковим рівнянням на зсув (зріз, сколювання)

Вибір допустимої напруги на зсув (зріз) є ще більш складним питанням, ніж при розтязі та стискові. Справа в тому, що безпосереднє визначення границі міцності при зсуві ускладнюється трудністю практичного здійснення чистого зсуву без впливу інших деформацій або явищ (згину, тертя та ін.). Тому величину допустимої напруги при зсуві приймають не тільки на основі дослідів, але і теоретичних міркувань. Величини допустимих напруг при розрахунках металевих та дерев’яних конструкцій на зріз та сколювання наведені в таб.6.

Таблиця 6

Матеріал конструкції	Допустимі напруги
	на зріз чи сколювання МПа	на зминання МПа
1	2	3
Сталь для заклепок при продавлених отворах Те ж, при розсвердлених отворах	100 140	240–280 280–320

1	2	3
Сосна: вздовж волокон поперек волокон Дуб: вздовж волокон поперек волокон	0,5–1,0 0,6 0,8–1,4 0,8	8 2,4 11 4,8