§ 21. Поняття про головні напруги

В попередньому параграфі ми встановили, що при осьовому розтязі та стискові в похилих перерізах виникають нормальні та дотичні напруги. Також встановлені і такі перерізи бруса, в яких дотичні напруги відсутні. Ці перерізи або перпендикулярні до осі бруса, або паралельні.

Площадки, на яких дотичні напруги відсутні, називаються головними площадками, а нормальні напруги, що діють на цих площадках, називаються головними напругами. Тобто, це нормальні напруги σ .

В теорії пружності доводиться, що через будь-яку точку тіла можна провести три взаємно перпендикулярні площадки, по яких діють головні напруги. Ці напруги можуть мати різні значення.

Тому в будь-якій точці тіла завжди можна виділити елементарний кубик так, що його грані будуть головними площадками, отже, матеріал цього кубика буде розтягуватися або стискуватися трьома головними напругами, що діють на його гранях.

Залежно від числа діючих в точці головних напруг розрізняють три види напруженого стану: одноосний, або лінійний (рис. 28, а) напружений стан, коли одна із трьох головних напруг не дорівнює нулю: σ₁≠0, а інші дорівнюють нулю: σ₂=σ₃=0; двоосний, або плоский (рис. 28, б) напружений стан, коли дві із трьох головних напруг не дорівнюють нулю: σ₁≠0, σ₂≠0, а третя дорівнює нулю: σ₃=0; трьохосний, або об’ємний (рис. 28, б ) напружений стан, коли три головних напруги не дорівнюють нулю.

Рис. 28

При цьому вважається, що σ₁≥σ₂ ≥σ₃.

З лінійним напруженим станом ми познайомилися при вивченні осьового розтягу або стиску бруса. В цьому випадку в поперечних перерізах бруса виникала тільки одна головна напруга σ₁, а дві інші дорівнюють нулю.

Плоский напружений стан виникає, наприклад, в плитах, що спираються по периметру, покриттях будівель у вигляді куполу або оболочки, стінок та дна резервуарів та ін.

Об’ємний напружений стан виникає в масивних спорудах, до яких відносяться масивні гідротехнічні споруди, грунтові основи будівель і споруд та ін.

§22. Напруги в похилих перерізах при двоосному розтязі (стискові)

Для перевірки міцності матеріалу при плоскому напруженому стані потрібно знайти найбільші значення нормальних та дотичних напруг.

Уявимо собі прямокутний паралелепіпед, на бокові грані якого діють головні напруги σ₁ і σ₂ (рис. 29). Ці напруги будемо вважати розтягуючими. На фасадних гранях елемента ніяких напруг немає, тобто третя головна напруга дорівнює нулю.

Якщо одна із напруг σ₁, σ₂ або обидві будуть стискуючими, то в подальші формули прийдеться вводити значення відповідної напруги зі знаком мінус та змінювати нумерацію головних напруг.

Так, якщо одна із головних напруг буде розтягуючою, а друга стискуючою, то першу треба назвати σ₁, а другу σ_3; якщо обидві напруги будуть стискуючими, то меншу за абсолютним значенням треба назвати σ₁, а більшу σ₃.

Знайдемо величину нормальної та дотичної напруг в похилому перерізі 3-3, нормаль до якого утворює з напрямком 1-1 кут α₁, а з напрямком 2- 2 – кут α₂.

Рис. 29

Повні напруги в перерізі 3-3 σ_α та _α отримаємо, додавши результати дії напруг σ₁ і σ₂.

Частина нормальної напруги _α, яку викликає ₁, визначиться за формулою (21) і буде дорівнювати σ₁cos²×α₁, а друга частина _α, під дією σ₂, що визначається за цією ж формулою, буде дорівнювати ₂×cos²×α₂. Таким чином, повна нормальна напруга

σ_α=σ₁×cos²×α₁+σ₂×cos²×α₂=σ₁×cos²×α₁+σ₂×cos²(α₁+90º),

або

σ_α=σ₁×cos²×α₁+σ₂×sin²α₁ (25)

Величина повної дотичної напруги _α в перерізі 3-3 визначається за формулою (22):

_α ,

або

_α= ×sin2α₁ (26)

Нормальні напруги σ_α потрібно вважати додатними (розтягуючими), якщо їх напрям співпадає з напрямом зовнішньої нормалі до похилого перерізу, що розглядається, в протилежному випадку напруги σ_α будуть від’ємними (стискуючими).

Дотичні напруги _α будуть додатними, якщо для суміщення з ними потрібно зовнішню нормаль повернути за годинниковою стрілкою, в протилежному випадку вони будуть від’ємними.

Із формули (26) виходить, що найбільші дотичні напруги будуть при sin2α₁=1, тобто α₁=45º.

_max= (27)

Формули (25) і (26) виведені для випадку додатних напруг σ₁ і σ₂. Якщо вони будуть від’ємними, то значення їх потрібно підставляти в ці формули зі знаком мінус.

Приклад 13. Визначити нормальні _α і дотичні _ напруги в перерізі α-b, якщо σ_y=50 МПа, σ_z=-30 МПа і кут α=60˚ (рис. 30, а).

Розв’язок. Згідно з вищевказаною умовою позначимо головні напруги (рис. 30,б)

σ_y=σ₁=50 МПа; σ_z=σ₃=- 30 МПа.

Рис. 30

Визначаємо нормальні напруги σ_α в перерізі a – b за формулою (25):

σ_α=σ₁cos²α+σ₃sin²α=50cos²60º-30sin²60º=500,5²-300,866²=-10 МПа.

Дотична напруга _ визначається за формулою (26):

_= sin2α= sin120˚=40×sin(90˚+30˚)=40×cos30˚=400,866=34,64 МПа.