§13. Потенційна енергія деформації при розтязі (стискові)

У випадку статичного розтягу зразка розтягуюча сила F, яка повільно зростає від нуля до якогось значення, видовжує зразок на величину l і при цьому виконує роботу W. Ця робота акумулюється у деформованому зразку як потенційна енергія деформації W_п, причому, нехтуючи незначними втратами енергії (наприклад, тепловими) можна вважати, що

W=W_п

Якщо діаграма розтягу побудована в координатах (F, l), то, як відомо з теоретичної механіки, площа діаграми виражає роботу деформації. До границі пропорційності робота виражається площею трикутника ОАК. (рис. 15, а). Отже, потенційна енергія пружної деформації стержня, що має довжину l і сталий поперечний переріз А при однаковій в усіх перерізах поздовжній силі N=F, дорівнюватиме

.

Але

, (8)

тому потенційна енергія деформації розтягу до границі пружності

(8`)

Виразивши потенційну енергію деформації до границі пружності через величину напруги і вважаючи F=A, отримаємо

(9)

Повна робота, яка витрачається на руйнування зразка, виражається площею фігури ОАДМN діаграми розтягу; площа трикутника NME відповідає роботі пружної деформації, що зникає під час розриву зразка.

Діаграма розтягу, що наведена на рис. 15, характерна для м’якої сталі, що має здатність мати значні видовження. Такі матеріали, як ми знаємо, називаються пластичними. Таким чином, величина площі діаграми характеризує важливу якість матеріалу: чим вона більша, тим більшу роботу потрібно затратити на його руйнування і тим пластичніший матеріал. Тобто, за діаграмою розтягу можна робити висновок про ступінь придатності матеріалу для тої чи іншої конструкції.

Це особливо важливо для конструкцій, що зазнають ударного навантаження, що передають значну кількість кінетичної енергії. Тому для виготовлення таких конструкцій застосовують пластичні матеріали.

Для того щоб мати уяву про величину затраченої роботи в межах пружності, не пов’язуючи її ні з довжиною зразка, ні з площею перерізу, прийняте поняття питомої роботи пружної деформації, що витрачається на одиницю об’єму робочої частини зразка, або, що теж саме, питомої потенційної енергії, що позначається U.

Для отримання питомої потенційної енергії U потрібно величину роботи W розділити на об’єм зразка, тобто

U

але

тому

(10)

або, так як , де σ  σ_пц,

(10`)

Одиниця вимірювання питомої потенційної енергії – .

Із формули (10) виходить, що при даній напрузі запас питомої потенційної енергії буде тим більшим, чим менший модуль пружності матеріалу. Звідси стає зрозумілим, чому гума, для якої величина модуля пружності незначна, є досить енергоємним матеріалом.

Практичне значення потенційної енергії деформації полягає в наступному. При розвантаженні пружного тіла за рахунок потенційної енергії виконується робота, тобто навантажене пружне тіло можна вважати як акумулятор енергії. Тому вказана властивість пружних тіл широко застосовується на практиці (пружини, амортизуючі пристрої, ресори та ін.)

Знаючи величину роботи зовнішніх сил та потенційної енергії, можна визначити переміщення точок стержневої системи.

Приклад 6. Стержнева система АВС (рис. 17, а), складається із двох однакових стержнів довжиною l=1 м і площею поперечного перерізу А=2 см², в точці С прикладена сила F=50 кН. Визначити вертикальне переміщення точки С. Модуль пружності матеріалу Е=2·10⁵ МПа, =60°

Рис. 17

Розв’язок. 1. Визначаємо зусилля в стержнях 1 і 2, вирізавши вузол С (рис. 17, б). Складаємо рівняння рівноваги.

1. Х_і=0. –N₁sin30°+N₂sin30°=0

2. У_і=0. N₁cos30°+N₂cos30°–F=0

Із 1 знаходимо: N₁=N₂=N

Із 2 знаходимо: 2Ncos30°=F,

2. Визначаємо потенційну енергію в обох стержнях за формулою (8`):

3. Робота сили F на переміщенні _С за формулою (8)

4. Прирівнявши W і W_п визначаємо вертикальне переміщення точки С:

або скоротивши обидві частини на