Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим задачу: найти максимум U(х₁, х₂), где . х₁, и х₂ - скалярные переменные, при условии g (х1, х2 ) = b.

В окрестности точки решения [ х₁*, х₂*] , зависимость x1 от x2,заданную неявно соотношением g (х1, х2 ) = b, можно представить в виде явной функции

После замены условия g (х₁, х₂ ) = b. На явную функцию х₂ = h (х₁) можно использовать методы безусловной максимализации функции Н(х₁) = U(х₁, h(х1)) Из (3. 9) получим необходимое условие dH / d х₁ = 0. Поскольку

то выполняется соотношение

Это соотношение в случае 0 можно записать в виде:

(3.13.)

Метод множителей Лагранжa состоит в получении условий оптимальности в несколько измененной, но эквивалентной форме. Рассмотрим функцию:

(3.14.)

Условия стационарности функции имеют вид:

(3.15.)

Первые два условия эквивалентны (3. 13), а последнее - это исходное ограничение.

Функцию принято называть L(х₁, х₂, ) принято называть функцией Лагранжа (лангранжином). Величина - множитель Лагранжа.

Множитель Лагранжа оказывается весьма полезным в экономических приложениях. Пусть величина b в ограничении g(х₁, х₂ ) = b является переменной. Тогда оптимальные решения и множитель Лагранжа становятся функциями b, т. е. имеем х₁* (b), х₂* (b) и *(b). Получим

Поэтому

используя (3.15), получим Поскольку , то I(b)=U(x₁*(b), x₂*(b)). Поэтому

(3.16.)

Множитель * полученный по (3. 15), показывает чувствительность критерия по отношению к правой части ограничения g (x₁, x₂) =b. Если U* = 0, то изменения значения b не приведут к изменению значения критерия U(х₁*, х₃*).

Условия (3. 15) могут быть перенесены на любое число переменных и ограничений.

Найти точку , доставляющую максимум функции U(х) при условии

(3.17.)

Необходимым условием, того, что х* является решением поставленной задачи, является существование вектора такого, что функция Лагранжа

удовлетворяет b(x*, *) условиям

(3.18.)

Сформулируем необходимое условие максимума функции U(х), где , при наличии ограничений

где

Тогда точка х* будет решением, только в том случае, если найдется такой, что функция Лагранжа

в точке (х*, *) удовлетворяет условиям

(3.19)

(3.20)

(3.21)

Сформулированное утверждение принято называть теоремой Куна-Таккера.

Используем метод множителей Лагранжа для решения чрезвычайно простой линейной задачи оптимизации

при условиях

Функция Лагранжа имеет вид:

Необходимые условия максимума - (3.19 - 3.21)приобретает вид:

Как видим, это - довольно сложная система равенств и неравенств, причем решение является нелинейный , хотя исходная задача линейная.

Методы линейного программирования

Задачу линейного программирования можно записать так: найти х=(х₁, ....х_n), на котором достигается максимум линейной формы

(3.22)

при выполнении условий

(3.23)

(3.24)

Основы методов линейного программирования впервые были изложены в 1939 году Л.В. Канторовичем в книге "Методы организации и планирования производства".

Решим выше приведенную задачу методом линейного программирования

Множество допустимых значений имеет четыре вершины

х⁽¹⁾=[0, 0]; x⁽²⁾=[1,0];

x⁽³⁾=[6/7,4/7], x⁴=[0,1] Значение U(x) в этих точках соответствует 0,1,10/7, 1.

В конце 40-х годов американский ученый Дж. Данциг независимо от Л.В. Канторовича предложил метод решения задач линейного программирования, названный им симплекс-методом. Суть его заключается в переходе от первоначальной точки в соседние, если там функция цели увеличивается.

Доказательство этого рассматривать не будем.