III Модели кривых роста.

Кривые роста - это математические функции, предназначенные для аналитического выравнивания временного ряда.

Наиболее часто в практической работе используются кривые роста, которые позволяют описывать процессы трех основных видов: без предела роста, с пределом роста без точки перегиба, с пределом роста и точкой перегиба.

Для описания процессов без предела роста служат функции:

1. прямая Y(t) =A₀+A₁*t;

2. парабола II порядка - Y(t)=A₀+A₁*t+A₂*t²

3. степенная Y(t)=exp(A₀ )*t^A1;

4. экспонента Y(t)=exp(A₀+A₁*t)

5. кинетическая кривая - Y(t)=exp(A₀+A₁*t)*t^Ai

6. Линейно-логарифмическая функция II порядка Y(t)=A₀+A₁*Lnt*(1+A₂*Lnt);

7. Линейно-логарифмическая функция I порядка. Y(t)=A₀+A₁*Ln(t);

Процессы развития такого типа характерны в основном для объемных абсолютных показателей.

Для описания процессов с пределом роста используются следующие функции:

Кривая Джонсона Y(t)=exp (A₀+A₁(t))

Вторая функция Торнквиста Y(t)=A₀+t/(t+A₁ )

Модифицированная экспонента Y(t)=A₀-A₁*exp(-t)

Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателей (душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на ед. площади, затраты на 1 руб. производственной продукции и т.п.)

Для описания процессов с пределом роста и точкой перегиба используются кинетическая кривая и кривая Гомперца:

Такой тип развития характерен для спроса на некоторые новые товары.

Параметры моделей могут быть содержательно интерпретированы. Параметр A₀ во всех моделях без предела роста задает начальные условия развития, а в моделях c пределом роста - асимптоту функций, параметр A₁ определяет скорость или интенсивность развития, параметр A₂ - изменение скоростей или интенсивности развития.

Параметры кривых роста оцениваются по методу наименьших квадратов , т.е. подбираются таким образом, чтобы график функции кривой роста располагался на минимальном удалении от точек исходных данных.

Для линейной модели система нормальных уравнений заметно упрощается и оценки коэффициентов рассчитываются следующем образом:

(7.6)

где t_cp- среднее значение фактора "время"

Y_cp - средне значение исследуемого показателя.

Последовательно подставляя в модель значения t, получаем расчетные значения Y(t), сопоставляя их с фактическими значениями оценивается качество модели. В случае адекватности модели ее можно использовать для прогнозирования.

Точечный прогноз на k шагов вперед получается путем подстановки в модель параметров t=N+1, N+2...N+k. При построение доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k),которая для линейной модели имеет вид:

(7.7)

где S_e- точность модели

k_p - табличные значения t- статистики Стьюдента

(при 70% kp =1,05; при 95% kp=1,96 при 99% kp =3)

Для других моделей U(k) рассчитываться аналогичным способом, но имеет более сложный вид.

Верхняя граница прогноза = Yp (N+k)+U(k)

Нижняя граница прогноза = Yp (N+k)-U(k)

Если построчная модель адекватна, то с выбранной вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей.