Основные математические методы анализа прикладных экономико-математических моделей

Большинство прикладных экономических задач - это задачи принятия решений о планировании деятельности производственных систем различных типов. Пусть совокупность возможных решений описывается как множество допустимых значений переменных математической модели (2. 25), в виде z Z. В этом случае показателем являются функции решений z.

F₁ (z), i = 1, ...r, (3. 1)

Наибольшее распространение в прикладных исследованиях получил оптимизационный подход, основанный на формулировании единственного показателя, величина которого является критерием выбора наилучшего решения из множества возможных. В этом случае существует проблема свертывания показателей.

I. Свертывание показателя.

Под свертыванием показателей понимается построение функции U (z) = F (f1(z), ..., fr(z)), которая может быть использована в качестве критерия при принятии решения вместо системы

показателей (3. 1).

Рассмотрим некоторые методы свертывания.

1. "Экономический" метод свертывания состоит в задании положительных величин

на основе которых критерий формируется, в виде:

(3.2.)

Величины - оценивают вклад каждого показателя в увеличении значения критерия оптимальности.

2. Задание структуры показателей. Как и в предыдущем случае, задается r положительных величины , и в качестве критерия берется:

(3.3.)

3. Введение ограничений на величины показателей и выделение ведущего показателя. Задается r величины , после чего вводится ограничение

В качестве критерия берется один из показателей, например fi*(z):

(3.4.)

4. В последнее время часто используется критерий:

(3.5.)

где f_i** - некоторые наименее предпочтительные (например, минимальные) значения показателей. Этот критерий характеризует отклонение показателей от наилучших величин fi* , которые, как правило, недостижимы одновременно. При этом множители - масштабные коэффициенты.

- характеризуют важность отклонений.

В качестве примера рассмотрим один частный случай свертывания показателей динамических моделей типа (2. 11), (2. 12), (2. 16). В этих моделях показателями являются значения некоторой функции f (x (t) , u (t), t) и каждый из моментов времени от t = 0 до t =T. При этом каждому варианту решения ( управлению u (t), ) соответствует бесконечное число показателей. Для того чтобы свести задачу к числовому критерию, используют свертку показателей с помощью специальной весовой функции (t), соизмеряющий значения функции f (x (t), u (t), t) в различные моменты времени.

(3.6.)

Функцию обычно выбирают в виде , где p - некоторый неотрицательный параметр.

В случае использования многошаговой динамической модели (2.21-2. 23):

(3.7.)

II. Методы оптимизации экономико-математических моделей.

1. Классические методы безусловной оптимизации.

Этот метод предполагает выбор вектора , на котором достигается максимум функции U (х), заданной на всех х . В общем случае задача может и не иметь решения, но мы будем предполагать, что существует некоторая точка х*, на которой достигается решение задачи.

Более того будем полагать, что для всех (т. е. х* является точкой строгого максимума). Предполагается, что функция U(х) является достаточно гладкой, тогда в окрестности точки х* функции U(х) можно разложить в ряд Тейлора:

(3.8.)

где - число, и . Поскольку для всех , то получим, что

(3.9.)

Условие (3. 9) не является достаточным условием максимума. Точки х1 , х2, х3 - локальные максимумы. х3 - точка перегиба.

Условие (3.9) выделяет не только максимумы (глобальный и локальный) функции , но и другие точки. Эти точки удается исключить, если:

(3.10.)

В экономико-математических методах важную роль играют свойства выпуклости и вогнутости функций. Для вогнутой (выпуклой вверх ) функции U(х) строгий локальный максимум (если он существует) является единственным и совпадает с глобальным.

Методы решения одномерной задачи безусловной оптимизации могут быть распространены и на многомерный случай. Пусть , тогда:

(3.11.)

а условия второго порядка (3.10) - требование неположительной определенности матрицы Гессе (гессиана), которая определяется по уравнению:

т. е. условием

(3.12.)

для всех векторов , в которых U(х) удовлетворяет условию (3. 11), принято называть стандартными точками функции U(х).

Достоинством задачи безусловной оптимизации является то, что в ней с помощью искусственных приемов удается свести многие задачи оптимизации в условиях наличия ограничений на переменные.

В качестве примера рассмотрим метод множителей Лагранжа.