Линейные модели оптимизации в управлении экономикой.

I. Задачи оптимизации производственной программы предприятия.

Введем обозначения:

x,j,s-объем производства j-го продукта по s-му технологическому способу (j=1,2...n;s=1,2...q);

n-количество видов выпускаемой продукции;

Q-число технологических способов, используемых при производстве j-го продукта;

Bi-наличие i-го ресурса (i=1,2...m);

m-количесто типов используемых ресурсов

aijs-норма затрат i-го ресурса на производство единицы j-го продукта по s-му технологическому способу;

Pj,s-прибыль от производства j-го продукта по s-му технологическому способу;

Tj-гос.заказ по выпуску j-го вида продукции;

Cjs-себестоимость производства j-го продукта по s-му технологическому способу;

Pij-.заданный уровень прибыли.

1.Задачи на максимум прибыли.

Используя принятые выше обозначения, модель задачи можно записать в следующем виде:

(6.1)

(6.2)

(6.3)

В данной модели оптимизация возможна за счет включения в план выпуска наиболее выгодных видов продукции и за счет выбора для каждого вида продукции наиболее выгодных способов ее производства.

При составлении плана производства приходится учитывать не только ограниченность ресурсов, но и госзаказ. При этом модель дополняется ограничением. X_j>T_j.

2.Задача на минимум себестоимости производства.

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Результатом здесь выступает заданная производственная программа. Выбор наилучшего плана производства по минимуму затрат возможен в следствии эквивалентности результатов по всем вариантам. Вариант с наименьшими затратами может быть и не лучшим: просто с меньшими затратами мы достигаем и меньшего результата.

3.Задачи на максимум выпуска

Введем новые обозначения: Kj-количество изделии вида j, которые входят в некоторый комплект (например, комплект запасных частей для автомобиля). Функция максимума комплектной продукции будет следующая:

введем новое ограничение:

модель в общем виде с учетом наличия нескольких способов производства имеет вид:

(6.7)

(6.8)

(6.9)

4.Задача на минимум затрат станочного времени при

заданной производственной программе

(6.10)

(6.11)

Общий расход полезного времени и его недоиспользование при заданном фонде времени работы оборудования каждой группы связаны взаимно однозначным соотношением: минимум затрат станочного времени соответствует максимуму резерва и наоборот. В связи

с этим целевая функция, обеспечивающая минимум станочного времени на выполнение заданной производственной программы, имеет вид:

(6.12)

II. Двойственные задачи.

Одним из направлений в математическом моделировании экономических задач является использование двойственной задачи, которая может быть сформулирована для любой задачи на оптимум.

Постановка двойственной задачи.

Прямая задача	Двойственная задача
(6.13) (614) , (6.15)	(6.16) (6.17) (6.18)

Согласно теории линейного программирования каждой ЗЛП вида (6.13) / (6.15) соответствует двойственная ей ЗЛП: (6.16) / (6.18). Основные утверждения о взаимно двойственных задачах содержатся в двух теоремах.

Первая теорема двойственности.

Для взаимно двойственных задач вида (6.13) / (6.15) и (6.16) / (6.18) возможен один из взаимоисключаемых случаев:

1. 1.В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают:

, (6.19)

2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.

3. В двойственной задаче допустимое множество пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым.

4. Обе рассматриваемые задачи имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности.

(теорема о дополняющей нежескости)

Пусть x = (х₁, х₂...х_n) допустимое решение прямой задачи (6.13) / (6.15), а y = (y₁, y₂...y_m)- допустимое решение двойственной задачи (6.16) / (6.18). Для того чтобы они были оптимальными решениями соответственно задач (6.13-(6.15) и ( 6.16) / (6.18), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

(6.20)

(6.21)

Условия (6.20) и (6.21) позволяют, если известно решение одной из взаимно двойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи.

Рассмотрим еще одну теорему, выводы которых будем использовать в дальнейшем- теорему об оценках.

Значения переменных У_i в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки свободных членов b_i системы ограничений неравенств прямой задачи на величину f(x):

(6.22)

Решая ЗЛП (6.13) / (6.15) симплекс методом мы одновременно решаем двойственную ЗЛП (6.16) / (6.18). Переменные двойственной задачи Y_i называют объективно обусловленными оценками.

Пример 6.1 Задачи оптимального использования ресурсов.

Для составления плана выпуска 4-х видов продукции Р1, Р2, Р3, Р4 на предприятии используют три вида сырья S1,S2, S3.Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль, полученная в результате выпуска каждого вида продукции приведены в таблице 6.1

Таблица 6.1

Вид сырья	Запасы сырья	Вид продукции
		Р1	Р2	Р3	Р4
S1 S2 S3	35 30 40	4 1 3	2 1 1	2 2 2	3 3 1
Прибыль		14	10	14	11

Составим экономико-математическую модель задачи оптимального использования ресурсов на максимум прибыли. В качестве неизвестных примем Xj- объем выпуска j-го вида (j=1,2,3,4)

Модель задачи

Теперь сформулируем двойственную задачу. Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы У1 У2 У3, исходя из двух условии:

1. покупающая организация старается минимизировать общую стоимость ресурсов;

2. за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, которую хозяйство может выручить при переработке сырья в готовую продукцию.

Согласно первому условию общая стоимость сырья выразится величиной g(y)=35Y₁+30Y₂ + 40Y₃  min

Согласно второму требованию вводятся ограничения: на единицу первого вида продукции Р₁ расходуются 4 единицы первого ресурса S₁ ценой Y₁, одна единица второго ресурса ценой Y₂ и три единицы третьего ресурса ценой Y₃.

Стоимость всех ресурсов, расходуемых на производство единицы первого вида продукции, равна:

В результате аналогичных рассуждений относительно производства второго и третьего видов продукции система неравенств примет вид:

Получим симметричную пару взаимно двойственных задач: для производственной программы x = (x₁, x₂...x_n) и при любом векторе оценок y = (y₁, y₂...y_m) выполняется неравенство f (x) < g (y), т.е ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов. Значит, величина g (y) - f (x) характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

Из первой теоремы двойственности следует, что при оптимальной производственной программе и векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю.

В соответствии второй теоремы двойственности, в данном случае к оптимальной производственной программе x = (x₁, x₂...x_n) и оптимальному вектору оценок y = (y₁, y₂...y_m), предъявляются следующие требования:

(6.23)

(6.24)

Условия (6.23) можно интерпретировать так: если оценка Y_i единицы ресурса i-го вида положительна, то при оптимальной производной программе этот ресурс используется полностью, если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна нулю. Из условия (6.24) следует, что если j-ый вид продукции вошел в оптимальный план, то он в оптимальных оценках не точен, если же j-ый вид продукции убыточен, то он не войдет в план, не будет выпускаться.

Пример 6.2 Планирование выпуска продукции

пошивочным предприятием.

Намечается выпуск двух видов костюмов: мужских и женских. На женский костюм требуется 1м шерсти, 2м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм - 3,5м шерсти, 0,5м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350м шерсти, 240м лавсана и 160 человеко-дней трудозатрат. Требуется определить оптимальное число костюмов каждого вида, обеспечивающее максимальную прибыль предприятию. Если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского - 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов и обеспечить прибыль не менее 1400 денежных единиц.

Модель задачи. Введем обозначения

х1 и х2 - число, соответственно, мужских и женских костюмов.

Прибыль от реализации женских костюмов 10х₁, а от реализации мужских 20х₂, то необходимо максимизировать целевую функцию.

Ограничения задачи имеют вид:

Используя правила составления задачи, двойственной к исходной, сформулируем модель двойственной задачи:

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному виду: если в исходной задаче требуется найти максимум линейной формы, то все неравенства системы ограничений необходимо привести к виду" ". Поэтому неравенства, в которых данное требование не выполняется, следует умножить на (-1), в результате получим:

2. Выписать матрицу А коэффициентов при переменных исходной задачи и транспонировать ее

3. Составить систему ограничений двойственной задачи, для чего коэффициенты при переменных взять элементы транспонированной матрицы А, неравенствам придать смысл, противоположный по сравнению с неравенствами пункта 1, а в качестве свободных членов взять коэффициенты при переменных линейной формы исходной задачи

4. Составить линейную форму двойственной задачи, взяв коэффициенты при неизвестных Y свободные члены системы ограничений исходной задачи, полученные после преобразования пункта 1:

5. Указать, что необходимо найти при решении задачи: минимум линейной формы, если в исходной задаче имеется максимум.

6. Записать условие не отрицательности переменных двойственной задачи.

В результате получим модель двойственной задачи, в которой переменные имеют следующие значения:

Y₁- двойственная оценка ресурса "шерсть", которая может быть "ценой" шерсти; соответственно, Y₂-цена лавсана, Y₃- цена трудозатрат,Y₄- оценка заказа по выпуску женских и мужских костюмов, Y₅- оценка задания по прибыли .

Модель двойственной задачи имеет вид: найти Y₁,Y₂,Y₃,Y₄,Y₅-минимизирующие целевую функцию:

и удовлетворяющие ограничениям

В результате решения задачи симплекс методом были получены следующие данные:

Максимальная прибыль составила 230 денежных единиц при производстве 70 женских и 80 мужских костюмов. Дополнительные переменные X₅ = 0; X₆ = 40; X₇ =900 показывает, что шерсть и трудовые ресурсы используются полностью(X₃=0; X₅=0);лавсана осталось 60м (x₄=60); плановое задание перевыполнили по числу костюмов(X₆=40) и по прибыли(X₇=900).Результаты решения двойственной задачи указывают на дефицит "шерсть"(Y₁=4) и трудозатрат(Y₃=6).

Пример 6.3 Размещение производственных заказов.

Необходимо обеспечить производство 300 тыс. однородных новых изделий, которые могут выпускаться на 4-х филиалах предприятия. Разработанные для каждого филиала предприятия проекты освоения нового вида изделия характеризуются величинами удельных капиталовложений и себестоимости единицы продукции (см. таблицу 6.2).

Показатель	Филиал предприятия
	1	2	3	4
Себестоимость. Произ. Изделия Уд. Капиталовложения	83 120	89 80	95 50	98 40

Потребность в капиталовложениях и общие издержки будут изменяться пропорционально изменению объемов производства изделий. Для освоения 300 тыс. новых изделий выделено 18 млн. руб. Необходимо найти такой вариант распределения объемов производства продукции и капитальных вложений по филиалам, при котором суммарная стоимость изделий будет минимальной.

Введем обозначения:

K - Выделенные капитальные вложения (к = 18 млн.руб.)

I - номер филиала( i=1...n, n=4)

xi - объем выпускаемой продукции в i-м филиале;

T - суммарная потребность в изделиях (T = 300тыс.шт.)

Кi - удельные капиталовложения на единицу продукции в i- м филиале;

Сi - себестоимость производства продукции в i-м филиале предприятия.

Экономико-математическая модель:

С учетом данных модель задачи принимает вид:

Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи Y₁ и Y₂;

Y1 - двойственная оценка выпускаемой продукции, например, цена изделия;

Y2 - двойственная оценка капиталовложения, например эффективность капиталовложений.

Экономико-математическая модель двойственной задачи имеет вид:

Целевая функция G(Y) означает, что необходимо максимизировать разность между стоимостью произведенной продукции (T*Y₁) и величиной капиталовложений соизмеримой во времени с выпуском заданного объема продукции (K*Y₂); разность между ними соответствует суммарному "выигрышу" от капиталовложений.

Цена продукции Y₁ и коэффициент эффективности Y₂ взаимосвязаны. Цена одного изделия, выпускаемого в каждом из филиалов, не может быть больше, чем все производственные затраты, включающие в себя себестоимость C_i и приведенные к текущим издержкам через коэффициент эффективности капиталовложения K_i * V_i. Двойственная модель в числах запишется следующим образом:

В результате решения получим:

Результаты констатируют, что заказы по выпуску новых изделии невыгодно размещать в 1-ом и 4-ом филиалах(х₁ = 0 и х₄ =0) Себестоимость выпускаемых изделии составит 279 млн. руб.