III. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений.

Экономико-математический анализ решений осуществляется в двух основных направлениях:

• вариантные расчеты по моделям с сопоставлением различных вариантов плана:

• анализ каждого из полученных решении с помощью двойственных оценок.

Вариантные расчеты могут осуществляться при постоянной структуре самой модели (постоянном составе неизвестных, способов производства, ограничений задачи и одинаковой критерии оптимизации),но с изменением и величины конкретных показателей модели или варьирования элементов самой модели: изменения критерия оптимизации, добавлении новых ограничений на ресурсы или на способы производства, расширении вариантов и т.д.

Одна из эффективных средств экономико-математического анализа - объективно обусловленные оценки оптимального плана. Такого рода анализ базируется на свойствах двойственных оценок. Мы установили общие математические свойства двойственных оценок для задач на оптимум любой экономической природы. Однако экономическая интерпретация этих оценок может быть совершенно различной для разных задач.

Перечислим их:

Свойство1. Оценки как мера дефицитности ресурсов.

Свойство2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Свойство3. Оценки - инструмент определения эффективности отдельных вариантов.

Свойство4. Оценки - инструмент балансирования суммарных затрат и результатов.

Проиллюстрируем эти свойства рассматривая конкретный пример: на основании информации, приведенной в таблице 6.3, составить план производства, максимизирующий объем прибыли.

Таблица 6.3.

Ресурсы	Затраты ресурсов на ед. продукции		Наличие ресурсов
Труд Сырье Оборудование	А	В	2000 1400 800
	2 4 2	4 1 1
Прибыль на единицу Продукции	40	60

В результате решения задачи симплексным методом получим следующий оптимальный план:

Свойство1. Оценка как мера дефицитности ресурсов.

Количественно степень дефицитности находит выражение в предельных оценках эффективности фактора производства, эффективности с точки зрения их вклада в целевую функцию. Все факторы, не лимитирующие, не ограничивающие производство, получат нулевые оценки.

В нашем примере: объективно обусловленные оценки труда (У₁) = 40/3, оборудования (У₃) = 20/3; сырья (У₂) = 0. Это свойство вытекает из второй теоремы двойственности

если то

если , то

Дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане ( a_ij * x_j = b_i) имеет положительную оценку Y_i > 0, не дефицитный, не полностью используемый ресурс (для которого a_ij* Y_i < b_i ) имеет нулевую оценку Y_i = 0.

В нашем случае сырье не является дефицитным ресурсом:

тогда как ресурсы "труд" и "оборудование" используются полностью.

Труд:

Оборудование:

Чем выше оценка Y_i, тем острее дефицитность i-го ресурса. В нашем случае труд более дефицитен, чем оборудование 40/3 >20/3;

Свойство2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Величина объективно обусловленной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (на основании теоремы об оценках). В нашем примере увеличение фонда времени работы оборудования на одну минуту (b₃=1) привело бы к росту максимальной суммы прибыли на единиц). Эти оценки позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменении объемов ресурсов.

Значение свойства 2 состоит в том, что оно позволяет выяснить направление мероприятий по устранению "узких" мест, обеспечивающие наибольший экономический эффект, а также целесообразные изменения в структуре выпуска продукции с позиции общего оптимума.

Рассмотрим модель исходной задачи в матричной форме:

где - вектор неизвестных

C = (c₁, c₂...c_n) - вектор коэффициентов при неизвестных в целевой функции

B = (b₁, b₂,...b_n) - вектор свободных членов ограничений исходной задачи.

матрица коэффициентов в системе ограничений

Приведем задачу к канонической форме, для чего введем m дополнительных переменных. Задача примет вид:

max, (6.25)

, (6.26)

(6.27)

Где вектор неизвестных переменных Х будет иметь размерность n+m, размерность матрицы (n+m).

Пусть известен оптимальный план. Разобьем вектор Х на два подвекора Х^*>0 и Х⁰ = 0. В первый включим неизвестные, вошедшие в базис оптимального решения, т.е. ненулевые в оптимальном плане. Соответственно матрицу А разобьем на две матрицы: А^* (размерность mm) и А⁰ (размерность mn). Первую из них сформируют те столбцы матрицы А которые не соответствуют ненулевым неизвестным в оптимальном плане. Тогда А^*Х^* + А⁰Х⁰ = В. Так как А⁰Х⁰ = 0, то А^*Х^* = В. Умножим обе части последнего неравенства на матрицу, обратную матрице А^*, получим А^*-1 ·А^*·Х^* = А*^-1 ·В. Так как А^*-1 ·А = Е, где Е - единичная матрица, то

Х* = А*^-1 ·В; обозначим А*^-1 через D, тогда

(6.28)

Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска продукции Х. Изменим размер выделенных ресурсов, т.е. дадим приращение В вектору В. Тогда

С учетом того Х = DВ, можно записать выражение:

(6.29)

Это соотношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске продукции при изменении ограничений исходной задачи. Из соотношении второй теоремы двойственности следует, что всякое изменение исходных данных прямой задачи может оказать влияние как на ее оптимальный план . так и на систему оптимальных двойственных оценок.

Второе свойство двойственных оценок означает, что изменение значений величины bi приводит к увеличению или уменьшению f(x). Это изменение определяется величиной Yi и может быть установлено лишь тогда, когда при изменении величины bi значения переменных Yi соответствующей двойственной задачи в оптимальном плане остаются неизменными. В связи с этим необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы линейных уравнений АХ = В, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Это имеет место тогда, когда среди компонентов в векторе Х = DВ отсутствуют отрицательные компоненты. При этом следует помнить, что элементы матрицы D = А*-1 , обратной матрицы А, составленной из компонент векторов Х базиса, который определяет оптимальный план задачи, взяты из столбцов векторов, образующих первоначальный единый базис.

Исходя из этого, получаем следующие оценки нижних и верхних пределов устойчивости двойственных оценок при изменении каждого ограничения в отдельности. Пределы уменьшения (нижняя граница) определяется по тем Х_к (к= 1,...m) для которых соответствующие d_ki >0 ;

для d_ki >0 , (6.30)

Пределы увеличения (верхняя граница) определяется по тем x_k , для которых для d_ki < 0;

b_i⁽⁺⁾ = / max (x_k / d _ki ) для d_ki < 0, (6.31)

Определим интервалы устойчивости двойственных оценок в нашем примере, матрица A имеет вид:

После проведения задачи к канонической форме матрица А примет следующий вид:

С ненулевыми значениями в оптимальный план вошли Х₁* =200, Х₂* = 400 и Х₄*=200. Следовательно матрица А* будет составлена из первого, второго и четвертого столбцов матрицы А:

Для вычисления интервалов устойчивости необходимо найти матрицу D = А^*-1:

При определении интервалов устойчивости по формулам (6.30) и (6.31) примем:

Х₁* = 200 = Х_к=1; Х₂* = 400 = Х_к=2 ; Х₄* = 200 = Х_к=3

Интервалы устойчивости первого ресурса труд:

b_i^(-) = min (x_k / d _2,1 : х₃ / d _3,1 )=min (400/0,333 ;200/0,333)

= min (1200,600) = 600

b_i⁽⁺⁾ =(x₁ / d ₁₁) = /200/ - 0,166 = 1200

bi = b₁ - b_i^(-) ; b₁ + b_i⁽⁺⁾ = (2000 - 600; 2000 + 1200) = (1400;3200)

При изменении запасов ресурса "труд" в пределах от 1400 до 3200 единиц его двойственная оценка не изменяется.

Второй ресурс сырье - в оптимальном плане используется не полностью и поэтому не имеет верхней границы интервалов устойчивости:

b₂^(-) = х₃ / d _3,2 = 200/1 = 200

b₂ = (b₂ - b₂^(-) ; b₂ )= (1400 - 200; 1400) =(1200; 1400)

Интервалы устойчивости третьего ресурса - оборудование равны:

b₃^(-) = (х₁ / d ₁₃ ) = 200/0,666 = 300;

b₃⁽⁺⁾ = / max (x₂ / 2,3; х₃ / d₃₃ ) / = / max (400/ - 0,333;

200/ - 2,333) / = / max (-1200; -85,714) = / -85,714/ = 85,714;

b₃ = (b₃ - b₃^(-) ; b₃ + b₃⁽⁺⁾) = (800 - 300;800 + 85,714) = (500; 885,714).

В нашем примере определим величину изменения объема прибыли от реализации продукции при увеличении ресурса "труд" на 12 единиц. Эти изменения находятся в интервалах устойчивости двойственных оценок. В связи с чем можно воспользоваться вторым свойством оценок оптимального плана.

f (x) = 40/3 *12 = 160

Объем прибыли увеличится на 160 единиц. Такой же ответ получим, если решим задачу с новыми ограничениями по ресурсу труд; новый оптимальный план равен.

Свойство 3. Оценка - инструмент определения эффективности отдельных вариантов(технологических способов) с позиции общего оптимума.

Это свойство вытекает из второй теоремы двойственности:

Если , то

Если , то

Согласно этим соотношениям, для положительных значений неизвестных в оптимальном плане (xj>0) соответствующие сопряженные условия в системе ограничений двойственной задачи обращаются в равенство, а для нулевых значений неизвестных (x_j= 0), не вошедших в оптимальный план, сопряженные с ними двойственные условия обращаются в неравенство.

В рассмотренной ранее задаче (6.1) на получение максимума прибыли величина Y_i - это оценка ресурса; если ресурс - оборудование, то это проектная оценка оборудования (руб.станко-час). Она характеризует ограниченность фонда времени работы оборудования i, что не позволяет применять i-е оборудование по всем без исключения направлениям, где оно может дать положительный эффект. Из-за этого приходится использовать оборудование лишь тех технологических способах, которые в результате решения задачи признаны наиболее эффективными с позиции общего оптимума. В результате из-за нехватки оборудования предприятия при одних технологических способах "недополучают" прибыль, а при других - используют менее эффективные ресурсы.

Оценка Y_i (свойство 1) показывает граничную предельную величину прибыли, недополученную в следствии дефицитности фонда времени работы i- ой группы оборудования.

Вернемся к свойству 3, в оптимальный план задачи на получение максимума прибыли может быть включен лишь тот способ (вариант), для которого прибыль, недополученная из-за отвлечения дефицитных ресурсов, покрывается прибылью c_j. Разница между недопущенной и полученной прибылью служит характеристикой способа производства.

если j > 0 - производство не выгодно

если j 0 - производство выгодно

С помощью объективно обусловленных оценок можно определять эффективность новых технологических способов производства, рентабельность новых изделий.

Допустим предложены на выбор три новых изделия, за счет которых можно расширить номенклатуру выпускаемых изделий. Затраты ресурсов на каждое изделие и прибыль от реализации показаны в таблице 6.4. Определим изделия выгодные для предприятия с точки зрения принятого критерия.

Таблица 6.4

Ресурсы	Объективно обус. Оценка изделия	Затраты ресурсов на одно изделие
		В	Г	Д
Труд Сырье Оборудование	40/3 0 20/3	6 2 3	4 1 1	2 3 2
Прибыль на одно Изделие		90	70	45

Для решения задачи используем соотношение:

Для изделия В:

в = 6*40/3 + 0*2 + 20/3*3 - 80 = 20

Изделие В выпускать не выгодно, т.к. затраты на его изготовление не покрывается получаемой прибылью.

Для изделия Г:

г- 4*40/3 + 20/3 - 70 = -10 < 0 - изделие выпускать выгодно.

Для изделия Д:

д = 2*40/3 + 20/3* 2 - 45 = -5 < 0 - выпускать выгодно.

Свойство 4. Оценки-инструмент балансирования

суммарных затрат и результатов.

Это свойство вытекает из первой теоремы двойственности: f(X) =g(Y). В широком смысле под результатом понимается вклад в достижение общей цели системы, а под затратами - упущенные возможности достижения этой цели.

Экономический смысл равенства функционалов прямой и двойственной задачи состоит в том, что максимум прибыли может быть обеспечен лишь при минимуме недополученной прибыли от использования дефицитных ресурсов.