Методы математического моделирования экономических систем

I. Линейные статические модели.

Для того чтобы сформулировать модель некоторого объекта, необходимо указать список переменных модели, указать какие значения могут принимать переменные и какие преобразования можно производить с ними (например: целые, неотрицательные).

В большинстве линейных статических экономических моделей рассматривается конечное число переменных (N) х1, х2, ... хn. Предполагается, что эти переменные принимают вещественные значения. Связи в линейной модели имеют вид системы линейных равенств и неравенств.

(2.1)

(2.2)

где Аi,j и bi - заданные числа.

Каждое равенство системы ( 2.1) можно представить в виде двух неравенств:

Поэтому линейную систему часто представляют в виде:

(2.3)

Здесь А_p,_j, и b_p не совпадают с коэффициентом системы (2.1) и (2.2).

Модели типа (2.3) - наиболее простые среди экономика - математических моделей. Часто их записывают в сокращенном векторном виде. Для этого вместо N переменных в модели используют переменную вектор Х , имеющих n составляющих, т. е. Х = ( х₁,..., х_n), чтобы подчеркнуть векторную природу переменной Х пишут Х где Еⁿ - n - мерное евклидовое пространство.

Принадлежность вектора Х пространству Е_n означает, что вектор х имеет n вещественных составляющих х_n , причем вектор х имеет n вещественных составляющих х_j, причем векторы можно складывать между собой по правилу

умножить на вещественное число :

кроме того определяется скалярное произведение двух векторов:

На основе понятия скалярного произведения модель (2.3) можно представить в сокращенном виде

(2.4.)

где - векторы , составленные из коэффициентов системы ( 2. 3).

Векторная запись имеет более сокращенный вид. Для этого из коэффициентов системы (2.3) образуют прямоугольную матрицу:

а из коэффициентов b_p составляющий вектор .

Тогда соотношение (2.3) переписывается в виде

(2.5.)

Для двух векторов a и b, принадлежащих пространству Е^m, запись означает, что выполняются все неравенства

(2.6.)

причем все они могут одновременно быть равенствами. Запись для векторов означает, что все неравенства (2.6) одновременно в равенстве обращаться не должны.

Множество допустимых значений переменной х, которое обозначим через Х, для модели (2.3) являются многогранным. Можно сказать, что рассматриваемые линейные статические модели имеют общий вид

(2.7.)

где Х - многогранное множество.

Для того чтобы описать конкретное множество Х, его представляют в одном из видов (2.3), (2.4) или (2. 5). На рис. 2. 1 изображено множество Х в двумерном случае, когда система (2.3) имеет вид

Среди неравенств (2.5) могут быть и условия не отрицательности переменных х, которые в векторной форме приобретают вид х ( 0. Поскольку не отрицательность переменных - явление, встречающиеся в экономика - математических исследованиях довольно часто, то такие ограничения выписывают отдельно в линейную статическую модель

Если переменные принимают только целочисленные значения, то - целые переменные.