IV Адаптивные модели прогнозирования.

При оценке параметров адаптивных моделей, в отличие от моделей кривых роста, наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, на сколько сильными признаются их влияния на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность. Все адаптивные модели базируются на двух схемах: скользящего среднего (СС-модели) и авторегрессии (АР - модели).

Согласно схеме скользящего среднего, оценкой текущего уровня является взвешенное среднее всех предшествующих уровней, причем веса при наблюдениях убывают по мере удаления от последнего уровня. Такие модели более точно отражают изменения, происходящие в тенденции, но не позволяют в чистом виде отражать колебания.

В авторегрессионой схеме оценкой текущего уровня является взвешенная сумма не всех, а нескольких предшествующих уровней, при этом весовые коэффициенты при наблюдениях не ранжированы.

Информационная ценность наблюдений определяется не их близостью к моделируемому уровню, а теснотой связи между ними.

В практике статистического прогнозирования наиболее часто используется две базовые СС - модели - Брауна и Хольта, первая из которых является частным случаем второй.

Эти модели представляют процесс развития как линейную тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами. Прогнозная оценка Y(t, k) уровня ряда Y(t+k), вычисляется в момент времени t на k шагов вперед:

(7.9)

где A₀ (t) - оценка текущего (t-го) уровня,

A_i (t) - оценка текущего прироста.

Далее определяется величина их расхождения (ошибки). При к=1 имеет:

В модели Брауна модификация осуществляется по уравнениям:

(7.10)

где – коэффициент дисконтирования данных, изменяющихся в пределе от 0 до 1.

Е(t) – ошибка прогнозирования уровня Y(t) вычисляется в момент времени (t-1) на

один шаг вперед

a – коэффициент сглаживания (a=1- )

В модели Хольта коэффициенты модифицируются следующим образом:

(7.11)

a₁ и a₂ – коэффициент сглаживания (адаптации) изменяющийся в пределах от 1 до 0.

Параметры вычисляются последовательно, от уровня к уровню, и их значение до последнего уровня определяют окончательный вид модели. Начальные значения параметров оцениваются по МНК на основе нескольких(например пяти) первых уровней ряда.

Коэффициент А₀ – значение, близкое к последнему уровню, и представляет как бы закономерную составляющую этого уровня; коэффициент А₁ – определяет прирост, сформировавшийся в основном к концу периода , но отражающий так же (правда в меньшей степени) скорость роста и на более ранних этапах.

Модель Брауна может отображать развитие не только в виде линейной тенденции, но в виде случайного процесса, не имеющего тенденции, а также в виде изменяющейся параболической тенденции. Соответственно различают модели Брауна:

1. Нулевого порядка, которая описывает процессы, не имеющие тенденции развития, она располагает лишь одним параметром А₀ (оценка текущего уровня. Прогноз на к шагов вперед осуществляется по уравнению:

2. Первого порядка (это уравнения (7.9), (7.10).

Второго порядка, отражающей развитие в виде парабалической тенденции с изменяющейся скоростью и ускорением. Прогноз осуществляется по уравнению:

где А₂ – оценка текущего прироста или ускорение.

Границы доверительного интервала определяются на основе точечной оценки путем вычитания из нее и сложения с ней величины

где Se – точность модели.

Величины с(к) рассматриваются индивидуально для моделей разной степени сложности (от нулевого до второго порядка) соответственно:

В этих моделях коэффициент сглаживания характеризует степень адаптации модели к изменению ряда наблюдений. Они определяют скорость реакции модели на изменения, происходящие в развитии исследуемого показателя.

АР – модели, не предназначенные для описания процессов с тенденцией, однако, они достаточно точно описывают колебания, что весьма важно для отображения развития неустойчивых показателей. Чтобы сделать возможным применение АР – моделей к процессам с тенденцией, на первом этапе формируют стандартный ряд, т.е. исключают тенденцию путем перехода от исходного временного ряда к ряду первых или вторых разностей .

С учетом этого АР(р) – модель порядка Р имеет вид:

(7.12)

Параметры этой модели вычисляются по МНК с учетом сложности модели либо методом адаптивной фильтрации (МАФ). В обеих случаях модель необходимо предварительно идентифицировать, т.е. правильно определить порядок разносного ряда d и порядок модели Р.

Для идентификации порядка модели используется автокорреляционная функция, значение которой определяется по формуле:

(7.13)

где n – количество уровней стандартного ряда, ;

m – номер коэффициента автокорреляции

В качестве порядка модели принимается номер коэффициента автокорреляции 2(m), имеющего максимальную величину. Следовательно, в модели используются Р уравнений, которые оказывают на текущей уровень наибольшее влияние.

В соответствии с МНК формируется система из Р уравнений, которая в контактной форме имеет вид:

(7.14)

Например, для р=2 система принимает вид:

В ней суммирование производится по параметру t в пределах от 3 до n=N-d.

Решив эту систему уравнений получаем числовые значения А₁,А₂,….А_р. Оценка свободного члена определяется из соотношения:

На основе построенной модели (2.10) вычисляют прогнозное значение разностного ряда на шагов вперед, а от него приходят к прогнозной оценке исходного ряда. Так , для d=1 имеем:

Доверительный интервал прогноза рассматривается на основе точечного:

верхняя граница =

нижняя граница =

где S_e – СКО, вычисляется с учетом сложности АР(р) – модели;

к_р – коэффициент соответствующий табличному значению t – статистика.

Коэффициент под квадратным корнем рассматривается рекурентно , при j=0 c(0)=1, а при :

.