Основные понятия математического метода моделирования
Процесс создания модели объекта (аппарата, установки, завода), ее исследования и распространения результатов на оригинал называется МОДЕЛИРОВАНИЕМ.
Поиск оптимального варианта ведения процесса (производства) с целью получения максимальной прибыли называется экономика - математическим моделированием.
Задачи, которые решает экономическая наука можно условно разбить на два вида:
задачи оптимального планирования отдельного производства (предприятия),когда известен набор получаемых продуктов, используемые сырьевые ресурсы, полуфабрикаты, реагенты, теплоэнергетические ресурсы и ограничение по их использованию, а так же их цена;
задачи стратегического планирования, когда нет определенных данных о ценах и объемах сырья и других материалов, необходимых для производства, а имеются только эмпирические данные о характере их изменения.
Задачи первого типа относительно простые и для их решения используются методы линейного программирования.
Задачи второго типа очень сложные, для их решения используются элементы теории вероятности и методы регрессионного анализа.
Математическая модель(М.М.)-приближенное описание какого либо класса явлений внешнего мира выраженное с помощью математической символики. Анализ М. М. позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. М. М. -- мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления.
Процесс математического моделирования можно подразделить на четыре этапа.
Первый этап - формирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений в связях между объектами модели.
Второй этап - решение системы уравнений, описывающий процесс - правильный выбор методов решения и соответствующей ЭВМ.
Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли модель критерию практика(проверка на адекватность реальному процессу).
Четвертый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об объекте и модернизация модели.
Методы математического моделирования занимают ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и важным элементом автоматизированных систем управления.
Математическая статистика - раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных или иных совокупностей объектов, называется статистическим.
Связь математической статистики с теорией вероятности в разных случаях имеет различный характер. Теория вероятности изучает "вероятно случайные" явления, т. е. такие для которых имеет смысл говорить о соответствующих их распределениях вероятностей.
Важную роль играет теория вероятностей при статистическом исследовании вероятностных явлений.
Вероятностные закономерности получают статистическое выражение (вероятности осуществляются приближенно в виде частот, а математическое ожидание - в виде средних в силу закона больших чисел).
Регрессионный анализ - раздел математической статистики, объединяющей практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статическим данным.
РЕГРЕССИЯ - зависимость среднего значения какой - либо величины от некоторой другой величины или нескольких величин.
Проблема регрессии в математической статистике характерна тем, что о распределениях изучаемых величин нет достаточной информации. Цель регрессионного анализа состоит в определении общего вида уравнения регрессии, построении статистических оценок неизвестных параметров, входящих в уравнение регрессии и проверке статистических гипотез о регрессии.
Исследование регрессии производится методами, основанными на принципах средне квадратичных отклонений уравнений регрессии.
Регрессионные уравнения (регрессионные модели), отражают зависимость между экономическими переменными. Они могут быть однофакторными и многофакторными.
В первом случае одна переменная зависит от другой, во втором - одна переменная от нескольких других.
Адекватность регрессионного уравнения, то есть соответствие его реальному моделируемому процессу, достоверность его параметров, исследуется с нескольких позиций:
анализируются показатели качества подгонки регрессионного уравнения;
проверяются различные гипотезы относительно параметров регрессионного уравнения;
проверяется выполнение условий для получения "хороших" оценок методом наименьших квадратов;
производится содержательный анализ регрессионного уравнения.
Область применения однофакторных регрессионных уравнений ограничена, поскольку, как правило изменение экономических показателей объясняется несколькими факторами. Более широкую область применения имеет аппарат многофакторных регрессионных уравнений.
Регрессионные уравнения используются для решения многих задач экономических исследований. Наиболее важные - прогнозирование. После получения удовлетворительных регрессионных уравнений, прогнозирование осуществляется достаточно просто: путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения аргумента или аргументов. Основная проблема в прогнозировании сводится к получению моделей, адекватных исследуемым экономическим процессам. Вопрос надежности прогнозов сводится к проблеме построения доверительных интервалов прогнозов.
Ширина доверительного интервала прогноза зависит от следующих характеристик:
с ростом остаточной дисперсии уравнения регрессии Gz ширина доверительного интервала прогноза увеличивается, т.е. чем точнее качество подгонки регрессионного уравнения, тем надежнее прогноз;
с расширением выборки ( с ростом n) доверительный интервал прогноза сужается то есть, чем больше информации используется в прогнозных исследованиях, тем точнее прогноз;
с удалением прогнозного значения аргумента от среднего значения выборки, ширина доверительного интервала прогноза увеличивается, что вполне согласуется с тем обстоятельством, что с отдалением прогнозного периода неопределенность прогноза увеличивается;
с ростом вероятности доверительный интервал прогноза расширяется, то есть за уверенность мы должны платить расширением области возможных значений прогноза.
Этапы построения регрессионных уравнений
Постановка задачи.
Определение "входов" и "выходов" модели.
Отбор исходных статистических данных.
Установление наличия статистической связи между переменными.
Выбор математической формы регрессионного уравнения.
Оценка коэффициента регрессионного уравнения.
Оценка качества подгонки регрессионного уравнения.
Оценка стандартных ошибок и t-статистик для коэффициента регрессии.
Экспериментальная проверка модели.
Выводы об адекватности модели.
Эксплуатация модели.