29.6. Спектр атома водорода по Бору

Найдем вначале радиус n-й стационарной орбиты электрона.

При движении электрона по окружности радиуса r ни него действует центростремительная сила mv²/2, в качестве которой выступает сила кулоновского взаимодействия ядра и электрона

(26)

где e — заряд электрона.

Исключая из уравнений (29.24) и (29.26) скорость v, получаем радиус n-й электронной орбиты

(27)

Найдем теперь полную энергию атома водорода:

(28)

где W_k, W_p — соответственно кинетическая и потенциальная энергия электрона.

Использовав соотношение (29.26), запишем

(29.29)

Потенциальную энергию электрона найдем как произведение заряда электрона на потенциал электростатического поля, создаваемого ядром:

(30)

Здесь знак «–» учитывает, что потенциальная энергия взаимодействия электрона и ядра является энергией притяжения.

Подставляя (29.29) и (29.30) в (29.26), получаем полную энергию атома водорода

(31)

И наконец, подставим в (31) значение радиуса орбиты из (27):

(32)

где n=1, 2, … .

Видно, что энергия атома может принимать лишь дискретные значения. Используя второй постулат Бора, найдем частоту фотона, испускаемого при переходе атома водорода из стационарного состояния n большей энергией в состояние m с меньшей энергией:

(29.33)

где R — постоянная Ридберга;

Формула (33) совпадает с обобщенной формулой Бальмера (23), установленной экспериментально на основании анализа спектра излучения водорода. В этом спектре различными авторами были выделены серии, в которых положение спектральных линий в шкале частот подчиняется определенным закономерностям. Как следует из теории Бора, каждая из серий получается из формулы (33) при определенном фиксированном значении числа т и значениях n, равных m+1, m+2, … :

серия Лаймана

серия Бальмера

серия Пашена

серия Брэкета

серия Пфунда

Схема переходов, приводящих к возникновению серий в спектре излучения атома водорода, показана на рис, 8. Заметим, что линии серии Лаймана расположены в ультрафиолетовой, серии Бальмера — в видимой, а линии остальных серий — в инфракрасной части спектра,

Объяснение линейчатого спектра излучения и поглощения атома водорода и других водородоподобных атомов Не⁺, Li⁺ и т.д. являлась блестящим успехом теории Бора. Однако в дальнейшем были обнаружены принципиальные трудности, которые невозможно было преодолеть в рамках этой теории: теория Бора внутренне противоречива: она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой теорией; она оставляла открытым вопрос об интенсивности спектральных линий; попытки применить эту теорию к многоэлектронным атомам не увенчались успехом.

Рис. 8

Тем не менее, в историческом плане теория Бора сыграла свою положительную роль как промежуточный этап на пути к последовательной квантовой теории атомных явлений.

Лекція 40.

Корпускулярно-хвильовий дуалiзм. Гiпотеза де Бройля. Спiввiдношення невизначеностей. Хвильова функцiя та її статистичний змiст.