33.3. Металлы

Рис. 33.5

На рис. 33.5, а схематически показано заполнение электронами зоны проводимости для щелочного металла (лития) при T = 0. Видно, что в этом случае электроны заполняют все нижние подуровни энергии вплоть до некоторого уровня W_F, называемого уровнем Ферми. При T > 0 часть электронов может переходить на более высокие уровни (рис. 33.5, б).

В частично заполненной зоне проводимости металла электроны могут переходить на более высокие уровни энергии не только за счет теплового движения, но и под воздействием внешнего электрического поля, которое приводит электроны в упорядоченное движение. Эти переходы возможны, так как подуровни энергии в зоне расположены очень близко друг к другу и не заполнены электронами. В связи с этим металлы являются хорошими проводниками.

Рассмотрим теперь вопрос о теплоемкости металлов. Согласно классической теории атомная теплоемкость металлов должна быть выше, чем у диэлектриков, поскольку находящиеся в металле свободные электроны (электронный газ) должны обладать дополнительной теплоемкостью. Однако экспериментально показано, что атомная теплоемкость металла равна атомной теплоемкости диэлектриков. Для выяснения причин такого расхождения изложим классическую и квантовую теории теплоемкости электронного газа.

В соответствии с классическими представлениями средняя кинетическая энергия движения электронов должна быть равна ³/₂kT, поэтому внутренняя энергия электронов, находящихся в 1 кг-атоме металла,

,

где N_A — число Авогадро. Теплоемкость электронного газа

,

в то время как эксперимент показывает, что C_эл=0

Рис. 33.6

Причина такого расхождения заключается в том, что в тепловое движение вовлекаются не все электроны, а только та их часть, энергия которых отличается от энергии Ферми на величину ±kT. Эти электроны заполняют энергетический интервал шириной 2kT: от W_F –kT до W_F +kT (рис. 33.6). Электроны, заполняющие нижние подуровни энергии, не могут увеличить свою энергию, поскольку более высокие подуровни энергии заняты, а переход туда еще одного электрона запрещен принципом Паули. Такие электроны в тепловом движении не участвуют.

Пусть N — число электронов, находящихся в энергетическом интервале шириной 2kT вблизи уровня Ферми, а N_A — общее число свободных электронов в 1 кг-атоме металла (при T=0 эти электроны заполняют энергетический интервал от 0 до W_F). Решая пропорцию

N — 2kT;

N_A — W_F,

находим число электронов, принимающих участие в тепловом движении:

.

Внутреннюю энергию этой части электронного газа найдем, умножив N на среднюю энергию теплового движения электрона:

.

Тогда теплоемкость электронного газа

.

(33.3)

Как показывают расчеты, энергия Ферми для металлов W_F ~ 10 эВ. Этой энергии соответствует так называемая температура Ферми T_F = W_F/k~10⁵ К.

Если преобразовать (33.3) к виду

,

то с учетом того, что T/T_F << 1 для любых температур ниже температуры плавления металла, приходим к выводу, что в полном согласии с экспериментом C_эл = 0.

В заключение рассмотрим современную квантово-механическую трактовку зависимости сопротивления металла от температуры. Как и в классической теории электропроводности, при квантово-механическом рассмотрении движения электронов в металле оказывается справедливым выражение (15.29) для удельного сопротивления .

В рамках классической теории теплопроводности предполагалось, что и, следовательно, удельное сопротивление , что противоречит эксперименту, где наблюдается линейная зависимость сопротивления металлов от температуры.

В квантовой теории металлов энергия электронов Поскольку , то энергия электронов и, следовательно, скорость их теплового движения практически не зависит от температуры. Зависимость же удельного сопротивления металлов от температуры объясняется уменьшением средней длины свободного пробега электронов от температуры ( ), что связано с более эффективным рассеянием электронов на тепловых колебаниях ионов кристаллической решетке при более высоких температурах.