30.4. Уравнение Шредингера

Для того чтобы найти волновую функцию , характеризующую состояние микрочастицы или системы микрочастиц, необходимо решить волновое уравнение, которое было получено Э. Шредингером в 1926 г. Уравнение Шредингера — основа квантовой (волновой) механики, так же как уравнения Ньютона — основные уравнения классической механики. Как и уравнения Ньютона, уравнение Шредингера не может быть выведено из других более элементарных принципов и вводится в квантовую механику как постулат. Справедливость уравнения Шредингера определяется тем, что все выводы, полученные из его решений и доступные опытной проверке, подтверждались. Тем не менее, дадим некоторое методическое обоснование этого уравнения.

Продифференцируем дважды по координате x волновую функцию (8):

или

(12)

Подставим вместо длины волны  ее значение по формуле де Бройля:

Учитывая, что

где W_к — кинетическая энергия частицы, получаем

Заменив в этом уравнении кинетическую энергию частицы на разность между полной и потенциальной энергией: W_к =W–W_р. Тогда

(13)

Последнее уравнение и представляет собой одномерное стационарное уравнение Шредингера. Если ввести постоянную ħħ=h/2, то уравнение (13) можно переписать в виде

(14)

В общем (трехмерном) случае уравнение Шредингера имеет вид

(15)

В тех случаях, когда потенциальная энергия системы изменяется со временем, необходимо использовать более сложное временное уравнение Шредингера:

5. Решение уравнения Шредингера для микрочастицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме

Рис. 30.2

Применим уравнение Шредингера к частице, находящейся в одномерной, бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a (рис. 30.2). Внутри ямы (0<x<a) потенциальная энергия частицы равна нулю, а за пределами ямы (x<0 и a>x) — бесконечно велика. Очевидно, что частица может перемещаться только внутри ямы и не может выйти за ее пределы.

Стационарное уравнение Шредингера для такого одномерного случая запишется так:

(16)

Обозначив

(17)

перепишем уравнение (16) в виде

(18)

Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка (30.18) составим характеристическое уравнение:

,

которое имеет два корня: k₁=iq и k₂= –iq. Тогда общее решение (18) будет иметь вид

(19)

где A и B — постоянные интегрирования. Для определения этих постоянных используем граничные условия, согласно которым вероятность нахождения частицы на краях ямы равна нулю: ^*=0 при x=0 или x=a. Отсюда A+B=0. Из первого условия следует A = –B. Тогда (19) преобразуется к виду

(20)

или с учетом формулы Эйлера (см. математическое введение)

(21)

Используя второе граничное условие, получаем

(22)

Таким образом, волновая функция микрочастицы может быть записана в виде

(23)

Значение второй постоянной интегрирования А нетрудно получить из условия нормировки волновой функции

откуда

Для нахождения энергии микрочастиц определим из (30.2) значение q и подставим его в выражение (17):

(24)

Как видно из (24), энергия микрочастицы в потенциальной яме может принимать только рад дискретных значений W₁, W₂…, которые называются уровнями энергии. При этом расстояние между соседними уровнями энергии возрастает по мере увеличения n:

Рис. 3

Уровни энергии (24), а также распределение плотности вероятности по координате x показаны на рис. 3. Видно, что для всех уровней энергии на стенках потенциальной ямы ^*=0. Кроме того, при данном n имеется n-1 промежуточная точка, где вероятность обнаружить микрочастицу равна нулю.

Важная особенность в поведении микрочастицы внутри потенциальной ямы состоит в том, что ее энергия не может равняться нулю.

Действительно, при n=0 и =0 и тогда плотность вероятности нахождения микрочастицы в пределах потенциальной ямы ^*=0, что невозможно. Следовательно, предположение о том, что микрочастица может обладать нулевой энергией, неверно, так как приводит к парадоксальному выводу об ее исчезновении.

В реальных условиях глубина потенциальной ямы конечна. Например, электрон внутри металла может двигаться свободно, однако его выходу в окружающее пространство препятствует потенциальный барьер, высота которого равна работе выхода электрона из металла. Решение уравнения Шредингера для этого случая приводит к следующим результатам:

1) энергия микрочастицы в такой яме также будет квантованной;

2) существует отличная от нуля вероятность того, что микрочастица с энергией, меньшей, чем высота потенциального барьера, ограничивающего яму, выйдет за ее пределы. По классическим представлениям такой процесс невозможен, поскольку он приводит к отрицательному значению кинетической энергии микрочастицы.