32. Элементы квантовой статистики

32.1. Классическая и квантовая статистики

Применение статистического метода исследования свойств систем, содержащих большое число частиц, было рассмотрено в гл. 8, где изложены основные положения классической статистики, в основе которой лежат представления классической механики Ньютона.

Основная задача статистики - нахождение функции распределения частиц по соответствующим параметрам (скорости, энергии и др.). Примеры таких распределений — функция распределения молекул идеального газа по скоростям (функция Максвелла), функция распределения частиц в потенциальном поле (распределение Больцмана).

Движение микрочастиц подчиняется закономерностям квантовой механики и поэтому представления классической статистики к системам микрочастиц применимы лишь ограниченно. Для газов и жидкостей при температурах и давлениях, близких к нормальным, длина волны де Бройля значительно меньше среднего расстояния между частицами, поэтому к ним можно применять положения классической статистики. Однако для кристаллических твердых тел (особенно в области низких температур) классическая статистика неприменима, поскольку в таких системах движение атомов подчиняется закономерностям квантовой механики.

Отметим основные отличия квантовой статистики от классической.

1. Квантовая механика (в отличие от классической) в принципе — статистическая теория. Состояние квантовой системы определяется вероятностными законами распределение соответствующих физических величин. Система может находиться в различных квантовых состояниях, характеризуемых набором волновых функций _n(x), подобно тому, как классическая система может находиться в различных микросостояниях, определяемых набором координат и импульсов. В квантовой статистике речь идет о вероятности распределения системы по различным квантовым состояниям.

2. В квантовой механике в отличие от классической многие физические величины приобретают дискретный ряд значений, поэтому при вычислении средних значений в квантовой статистике вместо интегрирования необходимо применять суммирование.

3. Наиболее важное отличие квантовой статистики от классической связано с принципом тождественности, присущим только квантовой механике. Этот принцип состоит в том, что в природе реализуются лишь те квантовые состояния, которые не изменяются при перестановке одинаковых частиц, их «обмене» местами. Это приводит к коренному отличию квантовой механики и соответствующей квантовой статистики от классической теории, в которой перестановка любых двух частиц меняет микросостояние системы. Таким образом, подсчет числа различных микросостояний системы по классической и квантовой статистике принципиально различается. Например с точки зрения классической статистики имеется шесть различных микросостояний, когда четыре молекулы a, b, c, d размещаются по две в каждой из половинок сосуда: 1) ab-cd; 2) ac-bd; 3) ad-bc; 4) bc-ad; 5) bd-ac; 6) cd-ab. В силу принципа тождественности частиц в квантовой статистике эти состояния неразличимы, т.е. имеется лишь одно микросостояние.

Принцип тождественности одинаковых частиц требует, чтобы состояния системы описывались волновыми функциями, либо не изменяющимися при перестановке любой пары частиц (симметричные волновые функции), либо меняющими при такой перестановке свой знак (антисимметричные волновые функции). Заметим, что изменение знака не изменяет состояния системы, так как непосредственный физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции ||².

Симметричными волновыми функциями описываются частицы с целым спином (бозоны). Частицы с полуцелым спином (фермионы) описываются антисимметричными волновыми функциями. Из требований антисимметрии волновой функции вытекает принцип Паули.

Принцип Паули свидетельствует о взаимном влиянии частиц, находящихся в близких состояниях. Это влияние, называемое обменным взаимодействием, приводит к некоторому эффективному отталкиванию частиц, поэтому фермионы ведут себя как «индивидуалисты». Это означает, что в квантовой системе, состоящей из фермионов, каждый из них занимает состояние, отличающееся от других.

Противоположное влияние оказывают друг на друга частицы с целым спином, т.е. бозоны. По своим статистическим свойствам такие частицы ведут себя как «коллективисты», т.е. чем больше бозонов находится в данном квантовом состоянии, тем больше вероятность перехода в это состояние новых частиц. Это эквивалентно некоторому эффективному притягиванию частиц.

В классической физике обменное взаимодействие отсутствует, поэтому в классической статистике частицы ведут себя как «нейтралы» (т.е. вероятность перехода частицы в данное состояние не зависит от того, занято оно другими частицами или нет).