33.2. Диэлектрики

У диэлектриков валентная зона полностью заполнена электронами и отделена от зоны проводимости запретной зоной, ширина которой W > kT. В зоне проводимости электронов нет, так как энергии теплового движения недостаточно для перевода их из валентной зоны в зону проводимости. При наложении внешнего электрического поля электроны, находящиеся в валентной зоне, не могут прийти в направленное движение, так как при этом их энергия должна возрасти и, следовательно, должны осуществляться переходы на более высокие подуровни. Однако все подуровни энергии в валентной зоне заняты электронами, поэтому в силу принципа Паули такие переходы запрещены.

Единственная возможность для возникновения тока проводимости в диэлектрике - это переход электрона в зону проводимости. Однако, если ширина запретной зоны W >> kT, то концентрация электронов в зоне проводимости ничтожно мала. Поэтому диэлектрики практически не проводят электрический ток.

Рассмотрим теперь теплоемкость кристалла диэлектрика. В §  10.3 отмечалось, что при не слишком низких температурах атомная теплоемкость кристалла равна 3R (закон Дюлонга и Пти). Эксперименты показывают, что в области низких температур закон Дюлонга и Пти нарушается: при T→0 атомная теплоемкость C→0. Причина такого отступления от закона Дюлонга и Пти состоит в том, что классическое выражение для энергии колебательного движения атома ( , см. §  10.3) при низких температурах нарушается и должно быть заменено на более общее квантово-механическое выражение. Чтобы получить это выражение, рассмотрим более подробно особенности колебаний атомов кристалла.

Каждый атом кристалла может совершать колебания с частотами , 2, 3, ..., которые можно найти из выражения (30.25). Благодаря упругим связям между атомами колебания какого-либо атома не локализованы, а распространяются в кристалле в виде упругих волн той же частоты. Распространение таких упругих волн в кристалле можно описывать как движение некоторых воображаемых частиц (квазичастиц), которые называются фононами. Фонон как квазичастица во многом проявляет сходные свойства с реальной частицей фотоном. Фононы, как и фотоны, обладают дискретным набором энергий h, 2h, 3h, ..., однако, в отличие от фотона фонон может существовать, лишь двигаясь внутри кристалла.

Фонону, как и фотону, приписывается целочисленный спин, равный единице, поэтому эти частицы относятся к бозонам и подчиняются статистике Бозе-Энштейна. Используя эту статистику, можно показать, что средняя энергия фонона, приходящаяся на одну степень свободы,

.

Учитывая, что фонон обладает тремя степенями свободы, получаем, что внутренняя энергия одного килограмм-атома кристалла равна произведению числа Авогадро N_A на :

.

(33.1)

Рассмотрим поведение внутренней энергии U и атомной теплоемкости C_V в области высоких и низких температур.

Область высоких температур: h<<kT. Тогда

,

поэтому выражение для внутренней энергии (33.1) принимает вид

.

Отсюда атомная теплоемкость

,

т.е. в этой области температур справедлив закон Дюлонга и Пти.

Область низких температур: h>>kT. Тогда

,

,

отсюда атомная теплоемкость

.

(33.2)

Рис. 33.4

Поскольку показательная функция e^-h/kT при изменении аргумента изменяется существенно быстрее, чем степенная (T^-2), нетрудно показать, что при T → 0, C_V → 0.

График зависимости C_V от T показан на рис. 33.4. В области низких температур полученная нами зависимость C_V(T) — формула (33.2) — лишь качественно согласуется с экспериментом. Более строгая теория, учитывающая взаимодействие фононов, была разработана Дебаем.