Свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т. е.

, .

Пример 20. Пусть X – число реверсов, выпавших при четырех бросаниях правильной монеты. Требуется: a) составить закон распределения дискретной случайной величины X; b) найти функцию распределения и начертить её график.

Решение. a) Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2. 3, 4. Испытания независимы, и вероятность события А ={выпадение реверса} в каждом испытании одна и та же. Следовательно, вероятности значений случайной величины X находим по формуле Бернулли:

; ;

; .

Запишем искомый закон распределения X:

X	0	1	2	3	4
p

b) Будем задавать различные значения x и находить для них F(x)=P(X<x).

1. Если , то F(x)=0 (в том числе и при x=0 F(0)=P(X<0)=0).

2. Пусть (например, x = 0,5), . Очевидно, что и .

3. Пусть (например, x = 1,5), . Очевидно, что и .

4. Пусть , . Очевидно, что и .

5. Пусть (например, x = 3,5), . Очевидно, что и .

6. Пусть x>4.

Итак, функция распределения имеет вид:

Построим график полученной функции:

F(x)

1

0 1 2 3 4 x

3.3. Способы задания закона распределения непрерывной св

1. С помощью функции распределения. Дополним свойства функции распределения для непрерывной величины следующим требованием - это дифференцируемая функция в заданном интервале изменения аргумента х.

Теорема. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x₁, x₂] равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т. е. .

Замечание. Справедливы равенства

Следствие. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

2. С помощью плотности распределения.

Введем понятие плотности вероятности непрерывной СВ. Рассмотрим вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал . По предыдущей теореме имеем , т. е. вероятность равна приращению функции распределения F(x) на этом интервале. Тогда вероятность, приходящая на единицу длины равна . Переходя к пределу при , получим плотность вероятности в точке x, представляющую производную функции распределения F(x): .

На основании определения производной получим выражение плотности вероятности через функцию распределения:

.

Отсюда следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Функцию называют плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения. График плотности распределения называют кривой распределения.