Вопросы и задачи

1. Что называется случайной величиной?

2. Привести пример дискретной случайной величиной.

3. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

4. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	1	4	7
p	0,5	0,4	0,1

Построить график функции распределения этой величины.

5. Что называется плотностью вероятности случайной величиной?

6. Дана функция распределения СВ X

Найти: a) плотность вероятности f(x);

b) математическое ожидание M(X);

c) дисперсию D(X);

d) медиану Me(X),моду Mo(X);

e) вероятности P(X=0,5), P(X<0,5), ;

g) построить графики функций f(x) и F(x).

7. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднеквадратическое отклонение случайной величины X.

8. Дана функция

При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X? Найти математическое ожидание и дисперсию СВ X.

9. Исследовать функцию

10. Показать, что для функции из примера 9, параметр есть математическое ожидание, - среднеквадратическое отклонение нормального распределения.

11. Случайная величина X, распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).

4. Многомерные случайные величины

4.1 Основные понятия

Часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а системой случайных величин X₁, X₂,…, X_n, которую называют многомерной случайной величиной.

Пример 26. Успеваемость студента характеризуется системой случайных величин – оценками по различным дисциплинам.

Пример 27. Деталь в виде стержня характеризуется 2 случайными величинами – длиной и диаметром.

Пример 28. Погода в данном месте в данное время характеризуется системой случайных величин X₁- температура, X₂ – влажность воздуха, X₃ – давление.

Случайные величины X₁, X₂,…, X_n, входящие в систему, могут быть дискретными (пример 26) или непрерывными (примеры 27, 28).

В случае многомерной случайной величины каждому элементарному событию ставится в соответствие несколько действительных чисел x₁, x₂,…, x_n, которые приняли случайные величины X₁, X₂,…, X_n в результате испытания.

Будем рассматривать наиболее простой случай – двумерные случайные величины.