12. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий:

    1. Одно окрашено;

    2. Два окрашены;

    3. хотя бы одно окрашено.

(1.p= 0,6; 2.p=0,3; 3.p=0,9).

2. Основные теоремы теории вероятностей

2.1. Условная вероятность событий

Вероятность как мера степени объективной возможности наступления события B имеет смысл при выполнении определённого комплекса условий. При изменении условий вероятность события B может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность , добавить новое условие A, то полученная вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события B и обозначается .

Пример 15. В ящике 10 деталей, среди которых 6 стандартные и 4 бракованные. Поочерёдно из него извлекается по одной детали (с возвратом и без возврата). Найти вероятность извлечения во второй раз стандартной детали.

Решение. Пусть событие A ={извлечение стандартной детали в 1-й раз}, событие B={извлечение стандартной детали во 2-й раз}. Очевидно, что . Если вынутая деталь вновь возвращается в ящик, то вероятность извлечения стандартной детали во второй раз . Если вынутая деталь в ящик не возвращается, то вероятность извлечения стандартной детали во второй раз зависит от того, какая деталь была извлечена в первый раз – стандартная (событие A) или бракованная (событие ). В первом случае , во втором случае . Таким образом, вероятность события В существенным образом изменяется в зависимости от того, произошло или нет событие А.

2.2. Теорема (правило) умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло

P(АВ) = P(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).

Теорема умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события независимы. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие A или нет, т. е.

,

).

В противном случае, если , ( ), событие В называется зависимым от A.

Теорема умножения вероятностей для двух или нескольких независимых событий примет вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В),

P(ABC…KL)=P(A)P(B)P(C)…P(K)P(L).

При решении ряда задач требуется найти вероятность суммы двух или нескольких совместных событий, т. е. вероятность появления хотя бы одного из этих событий.

2.3. Теорема сложение вероятностей

Теорема сложения вероятностей 1. Вероятность появления одного из двух, трёх, четырёх, и т. д. несовместных событий A, B, …, C равна сумме вероятностей каждого события в отдельности, т. е.

Р(А+В+…+ K) = Р(А) + Р(В) +…+ Р(K).

Следствие 1. Если несовместные события a1, a2,…, An образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна 1

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

.

Теорема сложения вероятностей 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т. е.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

В случае трёх и более совместных событий соответствующая формула для вероятности суммы P(A+B+…+K) громоздка и проще перейти к противоположным событиям. Рассмотрим типичные случаи:

Вероятность суммы нескольких совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий
Для совместных и независимых события A,B,…,K вероятность равна
Для независимых событий с равными вероятностями. P(A)=P(B)=…=P(K)=p сумма вероятностей равна	P(A+B+…+K)=1-(1-p)n

Пример 16. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие A) равна 0,8, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие B) равна 0,7. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

Решение. Пусть событие C={цель поражена хотя бы одним стрелком}, противоположное событие ={оба стрелка промахнулись}. Таким образом, . По теореме умножения вероятностей, с учётом того, что событий и независимы, найдем

.

Вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком

.

Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теоремы умножения – является формула полной вероятности.