6.1. Проверка гипотез о математическом ожидании нормальной генеральной совокупности

Пусть требуется проверить исходную гипотезу

против альтернативы

,

где .

Задача относится к случаю проверки простых гипотез. Используя критерий максимального правдоподобия, при дополнительном предположении имеем решающее (оптимальное) правило:

.

Здесь - минимальная решающая статистика, которая называется достаточной статистикой задачи; пороговый уровень.

Полученное правило принятия решения в задаче проверки простых гипотез о МО по критерию максимального правдоподобия (МП) формулируется следующим образом. Если средняя выборочная величина превышает порог , то гипотеза отвергается (принимается ). В противном случае принимается гипотеза .

Анализ эффективности. Эффективность полученного алгоритма оптимального решения определяется вероятностью ошибки первого рода

.

Поскольку где n - объём выборки, то вероятность случайного события

где значение интеграла вероятности или функции Лапласа (приложение 1) в точке

.

Аналогично получаем выражение для вероятности ошибки второго рода

.

Пример 40. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объёма n =8:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	2	0	-2	-4	0	4	6	2	.

1) При заданном значении принять решение по критерию максимального правдоподобия о значении математического ожидания или . 2) Дать количественную характеристику эффективности принятого решения.

Решение. 1) Подставляя в решающее правило для критерия МП рассчитанные значения и , получаем . Таким образом, принимаем решение, что справедлива гипотеза , т. е. выборочным данным соответствует МО .

2) Т.к. приняли гипотезу , то отвергли гипотезу , т. е. можно рассчитать ошибку второго рода, определяющую вероятность «необнаружения» гипотезы :

= = .

Вывод: Вероятность ошибки достаточно большая, т.е. выборочным данным может соответствовать и гипотеза . Для уточнения необходимо увеличить объём выборки n.

6.2. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых нормальных генеральных совокупностей

Рассмотрим две СВ и , причём будем полагать, что их дисперсии одинаковы , но - в общем случае неизвестна. Пусть имеются две независимые выборки из данных генеральных совокупностей объёма и объёма . Поставим задачу проверки гипотезы против альтернативы , используя средние выборочные величины и .

Для решения задачи вводят дополнительно СВ T=X-Y. При этом , где , а .

Тогда задача проверки рассматриваемых гипотез может быть сформулирована так:

;

.

Её решение по аналогии с решением задачи проверки простых гипотез принимает следующий вид:

где - среднее выборочное значение СВ Т по выборке суммарного объёма :

- нормированная СВ, имеющая распределение Стъюдента с степенями свободы. При этом определяет p% точку распределения Стъюдента, заданную таблицами распределения (приложение 2) для уровня значимости решения

Пример 41. Имеются две независимые выборки из нормальных генеральных совокупностей объёма и :

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	2	0	-4	-6	0	4	6	2	,

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	4	-2	-8	0	2	-4	2	-2
i	9	10	11	12	13	14	15	16
	2	0	-4	-6	0	4	6	2	.

Проверить гипотезу против альтернативы при заданной вероятности ошибки первого рода .

Решение. Перейдём к новой СВ T=X-Y и проверим гипотезы и . Решающее правило, с учётом и имеет следующий вид:

где , рассчитана по средним выборочным величинам и и исправленным выборочным дисперсиям =15,71 и =14,87. По таблицам распределения Стьюдента для числа степеней свободы 22 определяем критическую точку и на основе решающего правила принимаем гипотезу о равенстве математических ожиданий. Другими словами, средние выборочные величины и различаются незначительно.