4.2 Дискретные случайные величины

Распределение двумерной случайной величины (X, Y) можно представить в виде таблицы, в каждой клетке (i, j) которой располагаются вероятности событий p_ij=P(X=x_i, Y=y_j) и выполняется условие нормировки . Таблица 1

Х Y	x1	x2	…	xn
y1	p11=P(x1,y1)	p12=P(x2,y1)	…	p1n=P(xn,y1)
y2	p21=P(x1,y2)	p22=P(x2,y2)	…	p2n=P(xn,y2)
…	…	…	…	…	…
ym	pm1=P(x1,ym)	pm2=P(x2,ym)	…	pmn=P(xn,ym)
			…

Полученные вероятности p_i и p_j дают возможность рассчитать значения математического ожидания и дисперсии для каждой из случайных величин:

Пример 29. Группа студентов в 30 человек сдает два экзамена. В таблице дано число студентов, получивших определенные оценки на двух экзаменах.

1 экз. 2 экз.	2	3	4	5
2	4	7	0	0
3	9	14	3	0
4	0	6	10	5
5	0	0	0	2

Построить таблицу распределения и найти математическое ожидание (средний бал) и дисперсию для каждого экзамена.

Решение. Построим таблицу распределения, разделив каждое из чисел таблицы на 60 – общее число оценок на двух экзаменах.

X Y	2	3	4	5	pi
2	0,07	0,12	0	0	0,19
3	0,15	0,23	0,05	0	0,43
4	0	0,10	0,17	0,08	0,35
5	0	0	0	0,03	0,03
pj	0,22	0,45	0,22	0,11	1

Запишем закон распределения случайной величины X - оценок, полученных на первом экзамене, сложив вероятности «по столбцам»:

X	2	3	4	5
p	0,22	0,45	0,22	0,11

Закон распределения для случайной величины Y - оценок, полученных на втором экзамене, имеет вид

Y	2	3	4	5
p	0,19	0,43	0,35	0,03

Вычислим математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение для каждой из величин:

,

,

,

,

, .

Функцией распределения случайной величины (X, Y) называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел (x, y) вероятность того, что X примет значения, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y:

F(x, y) = P(X<x, Y<y)

Г еометрически это равенство Y

можно пояснить так: F(x,y)

есть вероятность того, что M(x, y)

случайная точка (X, Y) попадет

в бесконечный квадрант с

вершиной M(x, y), расположенный X

левее и ниже этой вершины.

Для дискретной случайной величины функция распределения определяется по формуле:

,

где суммирование вероятностей распространяется на все , для которых , и все , для которых .