3.5. Примеры распределений случайных величин
Примеры распределений дискретных случайных величин
Биномиальное распределение (БР)
|
|
Закон распределения
определяется выражением
где
|
Числовые характеристики
|
Локальная теорема Муавра-Лапласа
|
пределом БР
является нормальный закон распределения
с параметрами
|
,
,
p
– вероятность наступления события A
в каждом из
независимых испытаний,
,
,
,
,
.
Распределение Пуассона
|
|
Число испытаний
|
|
- велико, вероятность
p
– постоянна и мала, число
незначительно,
Примеры распределений непрерывных случайных величин
Равномерное распределение
|
|
Плотность вероятности
f(x)
0
|
Числовые характеристики
|
Функция распределения
F(x)
1
0 x
|
|
Вероятность
попадания в интервал
|
|
x
- средина отрезка
нет
Показательный (экспоненциальный) закон распределения
|
|
Плотность вероятности
0 x
|
Числовые характеристики
|
Функция распределения
1
0 x
|
|
Вероятность
попадания в интервал
|
|
f(x) 
F(x)
СВ X
Нормальный (Гаусса) закон распределения
|
|
Плотность вероятности для СВ X
~
f(x)
0 |
Числовые характеристики
|
,
Если
Если
|
|
Функция распределения для СВ X ~
1
0,5
0 x
|
Плотность вероятности
для СВ
Функция распределения для СВ ~
|
и
параметр
меняется, то кривая распределения
будет смещаться вдоль оси абсцисс, не
меняя формы.
и
параметр
меняется, то меняется ордината максимума
кривой
.
При увеличении
кривая
становится более плоской, растягиваясь
вдоль оси абсцисс; при уменьшении
кривая
вытягивается вверх, одновременно
сжимаясь с боков (площадь под любой
кривой распределения должна оставаться
равной единице).
F(x) 
~
,
где
-
функция Лапласа
Вероятность того, что отклонение СВ
X, распределенной по
нормальному закону, от математического
ожидания
не превысит величину
Правило трёх сигм: Если СВ X ~ , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале
|
Функция Лапласа
- монотонно возрастающая функция
функция табулирована
|
Вероятность попадания в интервал
|
|
(по абсолютной величине)
,
где
.
СВ X,
Пример 23. Случайная величина X распределена по нормальному закону, математическое ожидание равно 10, среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что в результате испытания СВ X примет значение, заключенное в интервале (12; 14).
Решение.
Найдём вероятность попадания СВ X
в интервал
:
.
Пример 24.
Случайная
величина X
распределена нормально с
.
Вероятность попадания X
в интервал (10; 20) равна 0,3. Чему равна
вероятность попадания X
в интервал (0; 10).
Р
ешение.
f(x)
0 20 x
Так как нормальная
кривая симметрична относительно прямой
,
то площади ограниченные сверху нормальной
кривой и снизу – интервалами (0; 10) и (10;
20) равны между собой. Поскольку эти
площади числено равны вероятности
попадания X
в соответствующий интервал, то
.
Пример 25. Дана плотность вероятности
.
Доказать,
что
,
.
Решение. По определению математического ожидания непрерывной случайной величины
Интегрируя
по частям, положив
,
найдём
,
Найдём дисперсию
случайной величины X
по формуле
.
Интегрируя по частям дважды, получим
Учитывая,
что
,
вычислим
,
что и требовалось доказать.