6.3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей

Пусть

;

- две нормальные генеральные совокупности, МО и дисперсии которых заранее неизвестны. Проверим гипотезу о равенстве дисперсий этих генеральных совокупностей в предположении, что .

Также имеются две выборки наблюдений:

объёма ;

объёма .

С учётом этого сформулируем задачу в терминах проверки двух статистических гипотез

Решение такой задачи основывается на двух независимых оценках неизвестных дисперсий. Обозначим их как

и после этого воспользуемся решающим правилом вида

где случайная решающая статистика, подчинённая закону F - распределения Фишера с степенями свободы. При этом , , или критическая точка F-распределения Фишера (приложение 4), заданная вероятностью ошибки первого рода: .

Пример 42.Для двух независимых выборок X и Y из нормальных генеральных совокупностей, каждая объёма :

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	4	-2	-8	0	2	-4	2	-2

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	2	0	-4	-6	0	4	6	2	,

1) оценить дисперсии и при неизвестных МО.

2) проверить гипотезу о равенстве дисперсий при заданной вероятности ошибки первого рода (уровне значимости) .

Решение. 1) Оценки неизвестных дисперсий 14,86 и = 15,71 получены с учётом значений выборочных средних величины и .

2) Найдём отношение большей исправленной оценки дисперсии к меньшей

1,057. По таблице (приложение 4), по уровню значимости и числам степеней свободы =7, =7 находим критическую точку F-распределения Фишера (приложение 4) . Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий.

Вопросы и задачи

1. Что называется оптимальным решающим правилом?

2. Привести примеры задач проверки простых и сложных гипотез.

3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объёма n =16:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	4	-2	-8	0	2	-4	2	-2
i	9	10	11	12	13	14	15	16
	2	0	-4	-6	0	4	6	2

1) При заданном значении принять решение по критерию максимального правдоподобия о значении математического ожидания или . 2) Дать количественную характеристику эффективности принятого решения.

4. Какое решение будет принято в примере 41, если вероятность ошибки первого рода .

5. Что определяют ошибки первого и второгорода.

6. Имеются две независимые выборки из нормальных генеральных совокупностей равных объёма :

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	2	0	-4	-6	0	4	6	2	,

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	4	-2	-8	0	2	-4	2	-2

Проверить гипотезу против альтернативы при заданной вероятности ошибки первого рода .

7. Пусть два множества некоторых объектов, обладающих количественным признаком, подвергнуты выборочному контролю. Значения количественного признака есть распределенные по нормальному закону случайные величины. Из первого множества сделана выборка объема и подсчитана исправленная выборочная дисперсия равная 0,75. Из второго множества сделана выборка объема . Эта выборка дала значение исправленной выборочной дисперсии, равное 0,25. Для выбранного уровня значимости  = 0,05 проверить гипотезу равенстве дисперсий. (гипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута).