2.4. Формула полной вероятности
Теорема. Если событие A может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) H1, H2,…, Hn, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события A:
P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+......+Р(Hn)Р(A/Hn).
Это и есть формула полной вероятности.
Пример 17. Имеется английский научно-технический текст общей длиной в 400 тыс. словоупотреблений. По тематике этот текст распадается на следующие выборки разной длины:
радиоэлектроника – 200 тыс. словоупотреблений,
автомобилестроение – 100 тыс. словоупотреблений,
судовые механизмы – 50 тыс. словоупотреблений,
строительные материалы - 50 тыс. словоупотреблений.
Словоформа are – множественное число настоящего времени глагола to be употреблена в 1-й выборке 1610, во 2-й – 1273, в 3-й –469 и в 4-й – 346 раз. Определить вероятность того, что извлечённое наугад из нашего текста словоупотребление будет словоформой are.
Решение. Пусть событие A={появление словоформы are}. Рассмотрим следующие четыре гипотезы: H1 ={словоформа принадлежит к текстам по радиоэлектронике}, H2 ={словоформа принадлежит к текстам по автомобилестроению}, H3 ={словоформа принадлежит к текстам по судовым механизмам}, H4 ={словоформа принадлежит к текстам по строительным материалам}. Считая доли указанных текстов в общей выборке вероятностями наших гипотез, находим:
;
;
.
Условные вероятности события A при этих гипотезах соответственно равны:
;
;
;
.
Применяя формулу полной вероятности, вычислим вероятность события A ={появление словоформы are}:
P(A)=P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + Р(H3)Р(A/H3) + P(H4)P(A/H4) =
=0,5·0,008 + 0,25·0,012 + 0,125·0,009 + 0,125·0,007 = 0,009.
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.
2.5. Теорема гипотез (Формула Байеса)
Пусть событие A (которое может произойти только при условии появления одной из (гипотез) H1, H2,…, Hn, образующих полную группу), произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей гипотез P(H1), P(H2),…, Р(Hn), известных до испытания, т. е. надо найти апостериорные (после опытные) условные вероятности гипотез P(Hi/A) (i=1,2,…,n) по формуле
.
Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события A, т. е. по мере получения новой информации, мы можем проверять выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход дает возможность корректировать управленческие решения в экономике.
Пример 18. В магазин для продажи поступает продукция трех поставщиков, относительные доли 1-го –50%, 2-го –30%, 3-го -20%. Брак составляет у 1-го поставщика –2%, 2-го –3%, 3-го – 5%. Какова вероятность того, что покупатель купит качественную продукцию от первого поставщика?
Решение. Здесь возможны три гипотезы: H1 ={куплена продукция, поступившая от 1-го поставщика}, H2 ={куплена продукция, поступившая от 2-го поставщика}, H3 ={куплена продукция, поступившая от 3-го поставщика}. Очевидно, система этих гипотез полная, их вероятности равны P(H1) = 0,5, P(H2) = 0,3, P(H3)= 0,2.
Пусть событие A={покупка качественной продукции}. Тогда соответствующие условные вероятности события A равны
P(A/H1)=1- 0,02 = 0,98,
P(A/H2)=1- 0,03 = 0,97,
P(A/H3)=1- 0,05 = 0,95.